“向量的线性相关性”教学的一点体会

《高等代数》教学中,“向量的线性相关性”这一内容是教学的一个难点.有人曾说:“线性相关,真是一关”,情况确实如此.我以为,学生感到这一内容“难”的原因在于:一、本内容处在从具体到抽象的转折点上.一般《高等代数》书本都把它安排在行列式、矩阵、线性方程组之后,线性空间的基底之前,前面的内容如行列式性质与计算,仍然以具体方法为主,学生较易接受.但一转入向量空间、抽象的概念大批出现,     

四元数体上的极化余子式和逆矩阵公式

在四元数体Q上研究了行列式及所谓类自共轭矩阵的行列式的性质，提出了自共轭矩阵的极化余子式和极化伴随矩阵的概念，推广了域上行列式按一行（列）展开定理，得到了逆矩阵公式以及左线性方程组的Cramer解式。     

关于降阶法的注释

在解n元n式线性方程组时,克莱姆法则能用方程组的系数及常数项组成的行列式,把解明显地表达出来,这在分析问题和研究问题时是非常方便的,但是,用克莱姆法则解一个n元n式线性方程组需要计算n+1个n阶行列式,当n很大时,这个计算量是惊人的。为了克服这一缺点,本文依据降阶解法的原理,对这一问题作出具体探讨。     

关于矩阵的对角化

<正> 定义1:设A是数域F上的一个n阶矩阵,如果存在F上一个n阶可逆矩阵T,使得那么,就说矩阵A可以对角化.本文仅用线性方程组与矩阵等有关较初等的知识便简捷地推导出了矩阵对角化理论中的主要定理,其方法也完全可以平行地导出线性变换对角化理论中的相应定理.这对教学无疑是很有益处的.     

求子空间的和与交的基及维数的一种方法

<正> 大家知道:子空间的和的基及维数可用矩阵的初等变换求得;子空间的交的基及维数可利用解线性方程组的方法求得(见[3])。本文介绍一种只用矩阵的初等变换便可同时确定子空间的和与交的基及维数的方法。 定理1:矩阵的初等行变换,不改变矩阵的列向量间的线性关系。     

线性代数教学中的淡化与强化

如果将线性代数这门课比喻成一个大舞台的话,那么这出戏中两个重要的角色无疑是矩阵和向量,两者相辅相成,共同出演了"线性方程组解的理论"。相比之下,矩阵无疑是这出戏的主角,而向量只能充当配角。为突出"主角",在教学中应强化矩阵的有关理论介绍,而淡化向量组的理论,原因如下。线性代数比本科生所学的高等数学要抽象,这是由于线性代数以论述问题为主线,而学生习惯于具体的计算。论述问题往往是工科学生的弱点,而教会学生合理论述问题正     

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……（I）为矩阵线性方程组，其中A为系数阵，X为变量阵，B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上，给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank（A，B）一rank（A）。证：令x1，x2，…x。为X的列向量，其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组，根据线性方程组理论可知，有解的充分必要条件是，从而rA）。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……（！）中rank（A）一r。将矩阵【A，B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1＿二卜其中…     

线性代数刍议

一、线性代数的发展简史 线性代数是在18世纪产生发展起来的一门重要学科,它的发展历史大致可分为以下三个阶段: 18世纪莱布尼兹与克莱姆等人给出了行列式概念及其基本理论,线性方程组的克莱姆公式及行列式的拉普拉斯展开式就是这一阶段的重要成果。 19世纪,贸柯勃逊将行列式用于数学分析,给出Jacobi函数行列式这一重要工具,使行列式的应用更为广泛。矩阵理论两大始祖J·Sylvester与A·Cayley于19世纪上半叶均作     

由线性变换在一组基下的矩阵 求线性变换的表达式的方法

在线性空间中,由线性变换的表达式求线性变换在一组基下的矩阵的方法已是众所周知的,而至今极少见到由线性变换在一组基下的矩阵求线性变换表达式的方法。本文给出此问题的两种不同解法。     

关于向量组线性相关性的两点注记

向量组的线性相关性是线性代数中的一项非常重要的内容,也是一个难点。本文指出搞清齐次线性方程组的三种形式之间的关系是掌握向量组线性相关性的关键,并通过具体例子阐述了利用矩阵的初等变换判断抽象向量组,即分量未给出的向量组的线性相关性在一类特殊问题中的优越性。     

关于线性变换的根子空间

本文系统论述了属于线性变换特征概念范围的根子空间的基本问题，主要的有两点：（１）根向量所属于的特征值的唯一性；（２）根子空间与特征子空间的结构关系，作为论述这两个问题的预备定理，文中还证明了根向量或根子空间的其它两个重要性质。     

可以三角化的矩阵

令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,则σ可以对角化的充分必要条件是; (i)σ的特征多项式的根都在F内; (ii)对于σ的特征多项式的每一根λ,特征子空间V_λ的维数等于λ的重数那么条件(i)意味着什么呢?本文将证明它正是σ可以三角化(即存在V的一组基,使得σ在该基下的矩阵是三角形矩阵)的充分必要条件。为此先证明     

投入产出的静态代数分析

投入产出分析的主要数学基础是线性代数,本文拟利用向量、矩阵、行列式、方程组与线性变换等概念,对投入产出静态模型的基本内容作一略为详细而系统的介绍。这样做,也许可以填补那些已有点高等数学知识的读者而去读这类文章的不足。因此本文不是一篇经济学方面的文章,只能说是一个经济应用数学的尝试,为此,文内对投入产出的经济论述与分析,只有简略提过,而着眼于数学分析。全文的思路是:从投入产出的简化表上,直接得到分配与消耗方程组;由引入技术系数,而导出投入产出基本方程组,用了列昂节夫矩阵,又得到了相应的矩阵方程;也因有技术系数,也导出费用方程组及其矩阵形式;引进价格、工资与利润,而推出价格方程组与其矩阵方程。总之,在线性     

分块矩阵的准消法变换及其应用

研究了分块矩阵的准初等变换,并用这一变换简捷地处理了某些与矩阵的秩、行列式及可逆矩阵有关的问题。     

关于线性代数教材结构教法及建设的思考

文章在通过对目前线性代数教材分析的基础上 ,指出线性代数教材中的线性方程组、初等变换是教材的基本线索。讨论如何从教学内容及方法等方面改革线性代数教学 ,最后就线性代数教材的发展方向及内容提出了有关建议 ,如把线性变换作为重点 ,加强代数与几何、实际问题、计算机等方面的联系     

高等代数中两个定义的条件的削弱

正交变换和对称变换是欧氏空间的两类重要的线性变换。在书中它们分别是这样定义的: 欧氏空间V的线性变换A称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于任意的α,β∈V,都有     

线性空间的线性变换与基变换

有限维线性空间的线性变换与基变换,是两个关系非常密切而又有严格区别的概念。这两个概念反映在计算上,就是下面的两个公式:1、设线性变换 A 在基ε_1,ε_2……,ε下的矩阵是 A,向量ξ在基ε_1,ε_2,…,ε下的坐标是(x_1,x_2,…,x),则 Aξ在基ε_1,ε_2,…ε_n 下的坐标(y_1,y_2…,y)可以按公式     

关于四元数体上重行列式以及Schur公式

本文在[1][2]的基础上，首先讨论四元数体上的Hermite矩阵的行列式的性质。然后讨论重行列式的性质，对于重行列式，完整地给出了相应于域上行列式的基本性质。最后可把复数域上著名的Schur公式推广到四元数体上。     

关于半正定矩阵的一些结果

设A是n阶实矩阵,如果对任意非零实n元向量X,均有X＇≥(>0),就称A为半正定矩阵(正定矩阵)。已有不少文章研究了正定矩阵的性质,但关于半正定矩阵的研究尚不多见。本文给出半正定矩阵的一种合同标准形,由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负;可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定。     

整体传递矩阵法的Riccati变换

研究了多转子系统的Riccati变换问题，导出了多转子系统各种具体单元的Riccati变换公式以及Riccati变换中逆矩阵的计算公式，给出了数值算例。研究表明，尽管整体传递矩阵取系统的状态向量作为传递向量，增加了自由度，但计算工作量基本上没有增加。