学习关于实数连续性的七个命题的几点体会

一、用实数连续性的其它几个命题分别证聚点原理 看了本刊本期发表的吴运恢同志“用聚点原理直接证明实数连续性的其他几个命题”一文,受到启发,就想:反过来,是否可用实数连续性的其他几个命题分别证明聚点原理呢?[关于实数连续性的命题常用的有本文中的七个,此外还有界点存在定理、实数连续性定理(实数的分割是无隙的)等,经研究,只要少许笔墨就可完成这一证明。把本文和运恢同志的文章结合起来,就证明了实数连续性的七个命题的等价性。     

数理逻辑中的归纳定义和归纳证明

运用数学归纳法能证明一个表示逻辑定理的全称命题的真实性,即通过证明一集合对象具有某性质,从而证明该集合所有对象具有该性质,其原因在于用归纳法证明的集必须首先是一个用归纳定义给出的归纳集,它是与自然数集相同的最小归纳集,它具有封闭性,即:如果该集合的初始元有某性质,并且有一生成函数使得在初始元基础上,可不断生成新的元,如果这些生成元也有该性质,那么由生成元运用生成函数所生成的其他生成元,也有该性质,于是可断定,该集合中所有元都有该性质.归纳集所具有的这种封闭性质,就是数学归纳法原理.它是一前件真而后件不能假的蕴涵命题,因此归纳证明实际是通过证明它的前件(奠基和归纳两步)真,从而证明后件(归纳命题)必然真的演绎证明.     

R连续性的一个命题与应用

给出实数集R连续性的一个新命题 :R中单调有界网存在极限 ,并用此命题给出了Riemann积分学中达布定理的简单证明 ,研究了Riemann积分的可积准则等     

用聚点原理直接证明实数连续性的其它几个命题

数学分析的理论是在实数理论的基石上建立起来的。对实数连续性(完备性)的描述通常用如下的几个命题:区间套定理、确界存在定理、单调有界法则、柯西收敛准则、有限复盖定理、收敛子列存在性定理、聚点原理。这些命题都是等价的。这些命题不仅用来描述实数的连续性(完备性);而且是推证其它的有关理论的重要工具。熟练地掌握和运用这些工具是十分必要的。     

用有限复盖定理直接证明关于实数的其它几个定理

作为学习实数的几个等价定理的体会,本文力图用Heine—Borel有限复盖定理来证明实数的其它几个基本定理。这样,本文与廖学余同志的《学习关于实数连续性的七个命题的几点体会》一文中的用有限复盖定理证明连续函数在闭区间上的性质结合起来,在内容上更加完整、和谐,对进一步地掌握、运用有限复盖定理,不无好处。     

数学归纳法的原理及其应用

数学归纳法是数学中主要的逻辑推理方法,它在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。熟悉数学归纳法的原理是教好和学好数学归纳法的前提。为此,本文主要介绍归纳原理、最小数原理及应用。 归纳集的定义: 实数集R的子集A称为归纳集,如果它满足:①1∈A,②若x∈A,则x+1∈A。 虽然,实数集R本身就是归纳集;而集{x|x≥-1的实数},也是归纳集,集{x|1≤x<|0的实数},却不是归纳集,因为它不满足条件②;集{x|x>1的实数},也不是归纳     

有理数的稠密性与可数性的若干应用

有理数集Q在实数集R中稠密,并且是可数集。这个性质也称作(距离空间)R的可分性。它使得有理数集成为解决许多分析问题的十分重要的工具。本文通过举例来说明有理数集这些性质的一些重要应用。     

单圈证明——实数连续性的九个命题的等价性

关于实数连续性的九个命题的等价性虽已被证明,但从现有资料来看,都是把九个命题分成几组,用转圈的方法(如甲→乙→丙→甲)分别证明每组中各命题等价,然后从每组中各选一命题,再证这些命题等价。这样证明,一共就要转好几个圈。我们要问:单圈是否可以证明这九个命题等价呢?在其他同志所得结果的基础上,经研究,我们的愿望是能够实现的。     

一组实数连续性结论的推证

利用函数论中实数连续性的几个等价命题,给出并证明一组有关实数连续性的几个结论。     

解决几何问题重要思想方法--同一法

所谓同一法,就是当命题符合同一原理(条件和结论都是唯一存在的问题),要证明某图形具有某种特殊性质而不易直接证明时,可先作一个具有这一特殊性质的图形,然后证明所作的图形和原命题所要证明的图形是同一的(即重合),这种证法叫同一法。 例如:证明命题“A图形具有B特性”(这里A图形与B特性都是唯一的,即符合同一原理)。其步骤是:另作一个具有B特性的图形A′,然后证明A′图形与A图形是一个图形:从而证明了“A图形具有B特性”。下面略举几例说明,     

实数集上一类集函数延拓成环上测度的事实

本文证明明了实数集上单侧连续函数定义的集函数可唯一延拓成环Ｆ上的测度的事实。     

论周期函数的周期数集

本文研究了周期函数无最小正周期的充要条件是它的周期集在整个实数集Ｒ中稠密，并得到一些结果和性质．     

关于“数学归纳法原理”的教学

数学归纳法是数学中非常重要的一种论证方法,初等数学和高等数学中许多命题的证明都要用到它。这里将介绍数学归纳法原理、第二数学归纳法原理及其证明,另外将着重讨论在应用这两个原理时注意对学生进行能力培养。 首先我们介绍数学归纳法所根据的原理——最小数原理。这一原理,是自然数的一个最基本的性质。     

由一题多证看实数基本定理的等价性

从一道例题出发,用实数的基本定理加以证明,同时简单分析运用这些实数基本定理的证明手法,从中说明凡能用其中一个定理解决的问题也必能用其余5个定理来解决。     

关于哲学命题的广谱分析

哲学是由哲学命题构成的,因此,哲学命题的性质反映了哲学的性质。通过广谱哲学的结构分析和广义量化分析的方法,揭示哲学命题的独特的结构和性质,是本文的主旨。     

Poincare′公式的推广的证明及应用

由Poincare′公式的推广而得出的定理,借助事件与概率的性质,构造了两个命题,给出了这两个定理更为直观的证明。     

正确认识不相容选言命题--对于德礼、倪荫林二先生争论的介入

不相容选言命题是对客观事物间不相容选择关系的反映,同反映客观事物间相容选择关系的选言命题应该是并列关系,而不是种属关系.断定一命题形式是不是独立命题形式应遵循以下几个原则这一命题形式反映的是不是客观事物间最基本的关系;这一命题形式是否具有典型性和代表性;对于不同的逻辑体系,命题的独立性具有相对性,普通逻辑的性质和特点决定了断定一命题形式是否具有独立性的一个标准是是否有典型的语言形式与其对应.     

C_n(1≤n<ω)及C_ω中的否定

在对当关系逻辑中,命题A与命题△A之间是一种下反对关系。在弗协调逻辑系统中,我们通过定义一个一元连接词●,可以证明,在对当关系逻辑中算子△所具有的性质,在弗协调逻辑中其否定﹁也都具有这些性质,从而得出,弗协调逻辑中的否定﹁是一种特殊的下反对关系算子。     

顺序浅谈

<正> 顺序是我们日常生活中经常遇到的概念。如时间的先后顺序,人们吃饭、穿衣、行走等均有个先后顺序。再如自然数以及实数的大小关系,也是一种顺序关系,此种顺序关系又叫做自然顺序,它是一种很重要的顺序关系。再如高等数学中很重要的极限概念,也蕴含了一种顺序关系,因为极限概念正是反映了变量按照一定的变化顺序的发展趋势,如此等等。由此可见,顺序也是数学中常用的基本概念之一。我们知道,集合也是近代数学的基本概念,若把实数集的基本性质——代数运算实     

关系命题及其推理三题

我国普通逻辑学著作中流行的关系命题及其推理的有关理论 ,至少有三个问题值得商榷 :( 1)如果说性质命题有联项 ,则就不能否认关系命题也有联项。实际上 ,它在汉语中有三种表现形式 ;( 2 )纯粹关系推理的有效形式应该包括反映或指称某关系具有某逻辑性质这种客观内容的命题的形式 ,后者始终隐含地作为前提参与推理 ;( 3)关系推理和一切推理一样 ,其推演依据在于所有作为前提和结论的命题的逻辑性质 ,而根本不是“关系的逻辑性质”这种东西