关于三角形的若干加权不等式

关于三角形的边长与面积之间的关系,已有许多精彩深刻的阐述,Weitzenboeck不等式、Pedoe不等式就是其中的典型范例[1]。本文将揭示在加权情形下三角形边长与面积之间若干不等量关系。为叙述方便,我们记△ABC三内角A、B、C的对边a、b、c上的中线分别为m_a,m_b,m_c,高为h_a,h_b,h_c,外接圆半径为R,半周长为S,面积为△。     

一个几何不等式的高维推广及其应用

将Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ的一个关于三角形三边长与面积的不等式推广到高维单形，导出了一些不等式，分别推广了已有文献的有关结果     

对称配偶不等式

本文给出了两个新颖的涉及两个函数的对称配偶不等式,只要选取其中一个函数满足对称吸收条件,验证n=2时的起始条件,即可得到相应的n元不等式。根据对称配偶不等式,不仅简化了一些多元不等式的证明,也为探索发现一些新的不等式提供了一条可行的途径。     

垂足三角形序列

本文首次给出了垂足三角形序列的定义及垂足三角形序列中三角形边长、面积的(?)项公式,并由此解决了相关的问题。     

关于几个不等式命题的加强

本文分层次研究了multiply from i=1 to(xi+1/xi)≥(n+1/n)~n等三个代数不等式与Nauberg不等式等几何不等式的加强。这些不等式在目前数学期刊中探讨颇为热烈,本文在这些探讨的基础上给出了一些新颖独创的加强结论,其中有些结论是最优的。     

随机变量的平均不等式(Ⅰ)

文献[1]定义了随机变量的算术平均与几何平均,并建立了对称随机变量的平均不等式。本文借助于[1]的定义与方法,建立了更为一般的算术平均、几何平均、期望不等式。并将 Diaz—Metcalf 不等式、Plya—Szeg不等式、Kantorovich 不等式作为推论导出。利用本文所建立的不等式在一定条件下还可以用来估计方差的上界。     

关于Milosevic不等式的再探讨

针对Milosevic不等式改进和加强的结论,在对其条件进行调整的基础上,用初等的方法,给出了几何不等式∑cos3A＜1的另一个简易的证明,从而使Milosevic不等式的推广与证明更加完美.     

关于Miloevi不等式的再探讨

针对 Milo歟vi不等式改进和加强的结论,在对其条件进行调整的基础上,用初等的方法,给出了几何不等式3cosAS<1的另一个简易的证明,从而使Milo歟vi不等式的推广与证明更加完美.     

一个不等式的推广

推广了一个不等式，得到下列两个不等式，其中B＞A＞0，a＞1和γ≠0为实数，n和k为正整数。并给出了一个猜测。     

关于Fan Ky不等式的推广

利用积分方法和矩阵理论研究了正定对称矩阵的行列式不等式,考虑了可逆矩阵的行列式不等式,得到了Fan Ky不等式的若干推广;应用Gram的正定性,给出了Fan Ky不等式的一个改进.     

一个几何不等式的推广及加强

1954年S·Bcathy证明了 （K-H）（3K-5H）≤12S~2≤（K-H）~2 (1)式中S表示以a,b,c三边为边长的三角形的面积.H=（1/2）（a~2+b~2+c~2）,k=ab+bc+ca 1988年,陈计将①式左边不等式推广为P≥1或P≤0时有 S~(2P)≥2~（2-4P）.3~（P-2）·（K_P—H_P）（3K_P—5H_P） (2)     

马援三角形的指数推广

在文[1]中,指出了马援三角形的一个定理。 定理1:设a、b、c为ΔABC的三边,那么以a～θ,b～θ,c～θ,(0<θ<1)为边长能构成三角形,且(其中Δθ表示以a～θ,b～θ,C～θ为三边长的三角形面积,Δ表示以a,b,c为三边的三角形面积。)     

Weitzenbock不等式的加权推广

<正>在△ABC中,其三边之长分别为a、b、c面积为△,则有△成立,等号当且仅当a=b=c时成立,这就是著名的Weitzenbck不等式,第三届国际数学奥林匹克竞赛曾将此不等式的证明作为一道试题。关于它的证法已不下十种,笔者在文[2]中择其具有代表性的五种作了论述。历年来,人们绕有兴趣地探求着它的推广形式,主要有Finsler-Hadwiger不等式、Pedoe不等式等等,这在文[2]中均已论及。《美国数学月刊》1988年P.658上给出了如下的一个推广:     

对《关于凸整边多边形》的几点注记

整边凸多边形是边长为正整数的平面凸多边形,关于整边凸多边形的性质和计数问题文[4]给出了一些结果.本文指出了文[4]中关于整边凸多边形计数公式的错误;并且介绍了Andrews对于整边三角形计数公式的一种简单的证明.     

关于过三角形中任意一点作线段平分三角形面积问题

本文分析了过三角形中任意一点作线段平分三角形面积问题。发现在三角形中存在一个曲边三角形,过此曲边三角形内部每一点,可作三条线段平分三角形的面积;过曲边三角形边界上每点有两条;过曲边三角形之外每点有一条。文中给出了所求线段的公式,根据公式即可以用直尺,圆规作出所求的线段。     

复亚半正定矩阵

给出了复亚半正定矩阵的概念，研究了它的基本性质及行列式理论，将Hermite阵的Schur定理，华罗庚定理，Minkowski不等式，凸性不等式，Ostrowski-Taussky不等式推广到了较广泛的复矩阵类，扩大了Minkowski不等式的指数范围，削弱了华罗庚不等式的条件。     

新发现的一些三角不等式

涉及三角形的三角不等式是几何不等式的一个重要组成部分，也是国际国内数学竞赛命题的热点之一。近年来，本文作者对此类不等式作了较为广泛的研究，并取得了不少漂亮的结果（参见[1]～[5]）。本文给出这类不等式的一些新结论。     

关于三角形诸元素的一些新的几何不等式

关于几何形体各元素之间的不等式称为几何不等式,是几何学科的重要内容之一。在文[1]和[2]中,我们已导出了三角形诸元素之间的一些等式和不等式,对《Geometric Inequalities》[3]这本享有世界声誉的专著作了补充。本文利用Cauchy不等式、切比雪夫不等     

关于Steffensen不等式的注记

文章指出了文献 [3]中的错误 ,给出了Steffensen不等式的另一种推广形式和它的反向不等式 ,并用赫尔德不等式给出了它们的简洁证法。     

关于四元数矩阵乘积迹的一个不等式

给出四元数矩阵乘积迹的一个不等式，而Ｂｅｌｌｍａｎ不等式及其几种推广，以及关于四元数矩阵迹的Ｈｏｌｄｅｒ型和ｙｏｕｎｇ型不等式，均可视为这一结果的简单推论。作为这一结果的推论，还得到另外几个四元数矩阵乘积迹的不等式。