一类非线性微分方程奇点类型的判定方法

1、引言研究微分方程奇点附近的轨线的拓扑结构 ,首先要判定奇点的类型。本文的判定定理就是用简单的方法去判定这类微分方程的奇点的类型 ,从而减少计算量。给定微分方程组 (又称自治系统 ) :ｄｘｄｔ=Ｐ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｔ=ｑ(ｘ ,ｙ)　其中ｐ(ｘ,ｙ) ,ｑ(ｘ ,ｙ)∈Ｃ0 (Ｄ) ,区域Ｄ Ｒ2 , (1 1 )满足方程 ｐ(ｘ ,ｙ) =0ｑ(ｘ ,ｙ) =0 (1 2 )的解 (ｘ0 ,ｙ0 )就是 (1 1 )的奇点 ,我们知道 ,由特征方程 |Ｊ(ｘ0 ,ｙ0 ) -λＥ|=0 (1 3)的特征根λ1 ,λ2 ,当λ1 ,λ2 ≠ 0时 ,总可判定奇点 (ｘ0 ,ｙ0 )的类型及性质 .如果 :ｐ(ｘ ,ｙ)≡Ｐ…     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

△y = k△x在物理中的应用

在物理习题中 ,有类问题当某个物理量发生变化时 ,引起其他物理量的变化 ,其中属正比例关系的 ,应用函数 ,△ｙ=ｋ△ｘ求解较为方便。一、数学模型当ｙ与ｘ成正比时 ,即ｙ=ｋｘ ,则可证明△ｙ=ｋ△ｘ。即ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ。有两种证明思路 ,可结合学生的实际选用 :1、利用公式 :令ｙ1 =ｋｘ1 ,ｙ2 =ｋｘ2 ,则△ｙ=ｙ2-ｙ1 =ｋ(ｘ2 -ｘ1 ) =ｋ△ｘ。2、利用图象 :如图 1所示 ,ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ ,则△ｙ =ｋ△ｘ。图 1二、物理应用1、查理定律一定质量的理想气体 ,在体积不变的情况下 ,它的压强跟热力学温度成正比。即ｐ/Ｔ=恒量。根据数…     

利用二次函数的性质求极值

我们知道二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）配方得 ｙ＝ ａ（ｘ＋），所以顶点坐标为（　　　）．（１）当 α＞０时，抛物线开口向上，有最低点，即，有最小值，即当时，最小值＝　时，抛物线开口向下，有最高点，ｙ有最大值，即当ｙ最大值．应用这一性质求极值，有以下几种类型．１一般二次函数的极值 例 １（１）求函数ｙ＝－ｘ２－ ３ｘ＋ ２的极值；（２）求函数 ｙ＝ ４ｘ２－ ３ｘ＋２的极值．这类问题可直接利用性质或通过配方来解，具体解答略．２高次函数的极值 有些次数高于２的高次函数的极值，通过变换后，可以利用以…     

圆锥曲线中的切线和弦新探

关于圆锥曲线中的切线 ,中点弦和切点弦问题 ,题目繁多 ,特别是含有字母参数的 ,解决往往使师生既感到困难又十分烦琐。根据自己多年的教学实践 ,现对解决这类问题提出新的探讨。设ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ。定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,用ｘ0 ｘ、ｙ0 ｙ、12 (ｘ0 ｙ ｘｙ0 )、12 (ｘ ｘ0 )、12 (ｙ ｙ0 )分别去代ｆ(ｘ,ｙ)中的ｘ2 、ｙ2 、ｘｙ、ｘ、ｙ,代换后所得的式子记为ｆ1 (ｘ ,ｙ) ,即 :ｆ1 (ｘ ,ｙ) =Ａｘ0 ｘ Ｂｘ0 ｙ ｘｙ02 Ｃｙ0 ｙ Ｄｘ ｘ02 Ｅｙ ｙ02 Ｆ命题 1 :设ｆ(ｘ ,ｙ) =0表示圆锥曲线Ｃ ,如果…     

巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

复数学习中易与实数混淆的几个问题

实数集是复数集的真子集 ,因此 ,复数所具有的性质实数都具有 ,但实数所具有的性质复数不一定具备。由于教材尚无对此进行全面、系统的分析比较 ,学生在学习复数中出现了不少错误 ,为此 ,笔者根据学生出错的实际情形 ,总结了复数与实数之间极易混淆的七个问题 ,通过正误辨析 ,以警示学生甄别谬误 ,澄清认识。一、ｘ2 ≥ 0 ;ｘ21 +ｘ22 =0 ｘ1 =ｘ2 =0当ｘ∈Ｒ时成立 ,当ｘ∈Ｃ时 ,不一定成立例 1、在复数范围内解方程 :　　ｘ4 +1ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =4错解 :由原方程可得 :(ｘ2 -1ｘ2 ) 2 +(ｘ -1ｘ) 2 =0 ,则ｘ2 -1ｘ2 =0ｘ-1ｘ =0　　即 ｘ …     

辅助式子法在数学解题中的应用

辅助式子法是一种重要的数学方法 ,它在中学数学教材的各个部分都有广泛应用 .但由于是分散地接触它 ,学生总觉得不能很好地运用它来解题 ,只会在简单的问题上机械地模仿 .因此 ,需要对辅助式子法作一些比较集中的练习 ,以提高学生运用这一数学方法的能力 .例 1　在有理数集上分解因式 :ｘ4+ 4.分析　引进辅助式子 4ｘ2 ,它不仅使前三项化为完全平方式 ,而且使全式按平方差公式进行分解 .结果为 (ｘ2 + 2ｘ + 2 ) (ｘ2 -2ｘ + 2 ) .例 2　解方程 :　 (ｘ-3) (ｘ -2 ) + 2 ｘ2 -5ｘ + 3 =18.分析　若用一般解无理方程的方法 ,两边平方 ,将会…     

用判别式法求函数值域时应注意的问题

几乎所有的有关求函数值域的书刊,都介绍了判别式法。然而其中明确指出运用这一方法求函数值域时应注意的问题的却为数不多。学生在求二次函数和形如y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x+b_2x+c_2)的有理分式函数的值域时,常喜欢用判别式法,但又往往出错。这是什么原因?又应注意些什么问题呢?     

一类哈密顿系统被对称扰动后极限环的分布情况

一、引言文献 [1 ]中提到系统 (1 .1 )的类型 ,但没有进行深入的研究 ,所以本文对系统 (1 .1 )进行一些探讨 .ｄｘｄｔ=ｙ(1 ｘ2 -ａｙ2 ) εｘ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)ｄｘｄｔ=ｘ(1 ｃｘ2 ｙ2 ) εｙ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)(1 .1 )其中 :ａ >ｃ >0 ,ａｃ >1 ,0 <ε 1 ,ｍ、ｎ和λ为实参数 .该系统是带有对称扰动的Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 ,我们的目的是研究极限环分布情况及相图 .极限环的分布 ,是由于同宿或异宿轨线受扰动而变化后产生的 ,随着变量参数值的变化 ,我们发现许多有趣的各种各样的极限环的分布情况 ,用判定函数计算后 ,我…     

巧设错例激发兴趣

进入初中阶段 ,由于课程不断加深和增多 ,学生常常出现解题失误的现象。只要教师经常去分析和总结学生在学习过程中出现的错误 ,并利用这些错误积极改进教学方法 ,就能达到激发兴趣 ,启发思维 ,培养能力 ,提高教学质量的目的。1 .利用错误 ,预防失误。在教学中 ,利用学生学习教材时经常出现的典型错误 ,在备课时 ,有针对性地安排解决 ,做到防患于未然。例如 :解一元二次方程ｘ - 1 -ｘ3 =2学生经常这样解 :去分母 ,得 3ｘ - 1-ｘ =6导致这种错误的原因是 :不明确分数线的括号作用。因此 ,在教学中 ,可要求学生先将原方程写为ｘ - ( 1 -ｘ) /…     

函数方程的几种解法

含有未知函数的等式称为函数方程 ,求出未知函数的过程称为解函数方程。下面通过例子介绍一些解函数方程的方法。1 .利用特定值法当所给的函数方程中含有两个以上不同的变量时 ,可以设法对这些变量交替用特定值代入 ,然后再设法求出未知函数。例 1 :若对于任意整式ｇ(ｘ)及ｆ(ｘ)总满足条件ｇ[ｆ(ｘ) ] =ｆ[ｇ(ｘ) ] ,求ｆ(ｘ)。解 :因为ｇ(ｘ)、ｆ(ｘ)都是整式 ,特别地对任意ｇ(ｘ) =0 ,ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ[ｆ(ｘ) ]也成立 ,所以ｆ(0 ) =0 ,因此可设ｆ(ｘ) =ｘ·ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ)是整式。当ｇ(ｘ)取ｇ(ｘ)=ｘ 1时 ,ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ[ｆ(ｘ) ]也成…     

求函数值域的几种方法

函数值域在研究函数的性态以及在解有关实际问题时起着重要作用。本文借助初等函数等有关知识,归纳出几种求函数值域的方法。 1.观察法 对于某些简单的函数,可以通过对已知函数的定义域及对应法则的观察与分析,或者利用函数的性态,直接确定函数的值域。     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

关于互为反函数函数图象间关系的教学

1教材分析1．1教材所处的地位、作用“互为反函数的函数图象间的关系”是全日制普通高级中学教科书（试验本）第1册第2章“函数”中的内容，是在学完奇函数、偶函数的图象特点及反函数的概念后提出的。这一知识的出现，使得奇函数偶函数，互为反函数的图象对称问题全部得以展现和系统的联系起来，也为后面的指数函数和对数函数的图象关系及性质的学习铺平了道路。1．2教学目标根据大纲要求和教材特点，结合学生的认知水平，这节课应达到如下目标：知识目标：（）巩固上节课所学的反函数定义及互为反函数的定义域、值域的关系；（2）了解互为…     

解析几何中的解题技巧

解析几何是中学数学的重要内容之一 ,题型多 ,变化广 ,用传统解法虽然容易入手 ,但相关运算比较繁琐 ,如果能运用其它知识和一些技巧变换 ,往往能达到事半功倍的效果。下文从如何运用解析几何本身的解题技巧、平面几何知识和充分发掘隐含条件等三个方面来阐述。一、运用解析几何本身的解题技巧简化解题过程1 .巧用定义解题例 1　设Ｐ是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )上除顶点外的任意一点 ,Ｆ1 ,Ｆ2 是焦点 ,∠ＰＦ1 Ｆ2 =α ,∠ＰＦ2 Ｆ1 =β .求证 :ｔｇα2 ｃｔｇβ2 =ｃ -ａｃ ａ　　 ,　　ｃ2 =ａ2 ｂ2 。分析 :注意到 α2…     

关于Pell方程x^2—2y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解

设D=2kⅡi=1Pi，其中诸Pi是互异的奇素数，Pi≠（mod8）i=1，2，…k，证明了不定方程组x^2-2y^2=1与y^2-Dz^2=4仅有平凡解。     

关于丢番图方程x~3-1=Dy~2

本文证明了x~3-1=Dy~2(D>0,不含平方因子,且被6k+1形素数整除)当D<100,D≠26,31,7,38时,除D=61,仅有解(x,y)=(13,±6)外,其它情况无非零整数解。     

求函数值域的方法与技巧

求函数的值域,往往要涉及多方面的知识,因此加强和重视这一内容的教学,既可勾通代数、三角、几何等知识之间的联系,又能提高学生分析问题解决问题的能力和综合应用知识的能力。求函数值域的问题类型很多,解法技巧性很强,其常见的类型及其解法主要有以下几种,现分别举例说明如下。 恒等变换法