一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

解一阶隐方程时容易混淆的一个问题

一阶微分方程的一般形状为F(x,y,y′)=1 (1)当(1)满足隐函数定理的条件即(?)0时,可以将 y′解出,得到一阶显方程y′=f(x,y)或M(x,y)dx N(x,y)dy=0则可求解,然而,由     

丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

关于Fejér算子的逼近度

设σ_n(f、x)=∫(?)f(x-u)K_n(u)du、其中k_n(u)为Felér核。即;K_n(u)=1/(2πn)(sin~2nu/2)/(sin~2u/2).且f(x)∈C_(2x)。用ω(δ·f)=max|f(x)-f(y)|表示连续模。     

核物理中一个非线性积分方程存在唯一解的充分条件

研究了核物理中的非线性积分方程1=(?)(x)+(?)(x)integral from n=0 to 1(dx/x)R(x,y)/x~2-y~2(?)(y)dy,得到了存在唯一解的一个充分条件.所得结论改进了若干文献中的已知结果.     

关于丢番图方程x~n-2y~n=1和Erds猜想

本文运用Baker方法证明了：方程x~n-2y~n＝1，x，y∈Z＼｛0｝，（x，y）≠（-1，-1），n∈N，n＞2，至多有432组解（x，y，n），而且这些解都满足n≤3231以及|x|＜e~(10)~(208460)。     

积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

关于三角数与多角数

对于正整数m、n(n≥ 3 ) ,设Sm(n)是第m个n的角数 .该文证明了 :当n >6且n -2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy(3 )无正整数解 (x,y) ;当n >6,2 n且n -2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解 (x ,y) .     

关于多元指数型算子的一致逼近(Ⅱ)

设L_(n,m) (F (u,v);x,y)是二元指数型算子,在本文中,我们借助于K-泛函,讨论了当0相似文献   

一个新的拓扑指数与卤代芳烃化合物溶解度及分配系数的相关性

在分子价连接性指数的基础上 ,定义了分子中原子的价点价δyi 这一特征值 ,δyi=mi·Zi·(Zi-hi)·(8-Ni) hi 2ni [4·(Li+pi)·(ni-1 ) ].由δyi 建构的分子价连接性指数为nχy(n=0 ,1 ,2 ,… ) ,nχy=∑ (δi·δj·δk… ) -0 .5,其中 0阶指数为0 χy=∑ (δi) -0 .5,1阶指数为1χy=∑ (δiδj) -0 .5.将这种新的分子价连接性指数nχy 用于一些卤代芳烃定量结构—性能相关性(QSPR)研究 ,发现nχy 分别与卤代芳烃的水溶解度 -lgSw,正辛醇水分配系数 -lgKow有良好的线性关系 ,相关系数都在 0 .95以上 .所建构的模型 (QSPR)相关系数高 ,稳定性好 ,预测能力强     

函数f(X)在区间[a,b]上的三角函数展开式及其特例

一、f(x)在[a,b]上的三角展开式及其特例 我们知道,在[-π,π]上满足收敛定理条件(如Dini定理的“逐段光滑”)的函数 f(x),由系数a_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (1)b_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (2)确定的三角级数 a_0/2+sum from n=1 to∞(a_n cosnx+b_n sinnx) (3)     

平均数代换法的某些应用

平均数代换法的应用很广泛,下面仅就证明不等式和求极值等问题,谈谈它的应用。一若x y=A (A为常数),x~n y~n=B。作平均数代换x=A/2 α,y=A/2-α,能够得列仅含α的偶次幂项的等式 f(α)=C_n~1(A/2)α~(n-1) C_n~(n-3)(A/2)~3α~(n-3) … C_n~2(A/2)~(n-2)α~2 =B/2-(A/2)~n(n为奇数)。 (1)     

高阶中立型方程正解的存在性

本文研究了高阶中立型微分方程[x(t)-p(t)x(τ(t))]~(n)+α(t)multiply from i=1 to m|x(δ_i(t))|~(αi)signx(δ_1(t))=0(1)正解的存在性,获得了方程(1)存在正解的充分条件,同时,当n=1时,我们也得到了方程(1)所有解振动的条件.我们的结果推广了一些文献的主要结果.     

多元复合函数求导教学浅谈

多元复合函数求导是多元函数微分学的教学重点之一,又是教学的一个难点,本文就这部分内容的教学谈点粗浅体会。 利用图形、记忆法则 多元复合函数求导法则: 若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)有偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)有对x及y的偏导数,且计算公式:     

一类非线性方程的渐近解

用两变量方法讨论了一类二阶非线性方程εy″+a(x) y′+b(x) y″=0 ,n∈ Z,x∈ (0 ,1 ) ,y(0 ) =α,y(1 ) =β,并得到了该类非线性方程的渐近解     

一类指数型算子的一致逼近

由文献[4]我们知道,当P(x)不同时,由齐次偏微分方程(α/αx×w(n,x,u)=n/p(x)×w(n,x,y)·(μ-x)及规范化条件integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)du=1确定出的指数型算子integral from -∞=1 to ∞×w(n,x,u)f(u)·du亦不同。文[1]讨论了p(x)是至多二次的多项式时指数型算子的一致逼近问题,本文将就P(x)的更一般的情形给出一致逼近的正定理及饱和类。     

从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

μedblweB 多项式的一个性质

<正> 多项式,即由递推公式To(x)=1,T_1(x)=x,T_(n+1)(x)=2xTn(x)-T_(n-1)(x) n=1,2,…所决定的多项式 Tn(x),有许多奇妙而有趣的性质,并在计算方法、函数逼近等现代教学研究领域中有着极其广泛的应用。正因此,人们在研究多项式 y(x)=sum from l=0 to m a_ix~(m-i) 或在作函数级数的数值计算等方面,往往要把一般多项式形式用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出,以便于研究或减少运算次数。本文主要讨论一般多项式怎群用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出(关于能够线性表出性,     

Samuelson问题极限环的唯一性

本文给出系统 (dx)/(dt)=x(α εR(x)-βy) (dy)/(dt)=y(-γ δx εξ(y-α/β_))极限环唯一性的条件。 如果ξ≤0,当x>0时R＂(x),R＂(x)有界,且有R＇(x)-(x-γ/δ)R＂(x)≥0及δR＇(x) αR＂(x)≤0,则系统的极限环唯一,如果存在极限环则必为一个不稳定环。     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5