改革《高等代数》教学的一些做法

由于目前没有供师专使用的高等代数教材,我校几年来一直使用本科张禾瑞等编高等代数课本,因而学习对象与教材之间存在一定差距。高等代数具有概念多、严密推理多及抽象特点,而师专学生基础较差,尤其抽象思维能力更为薄弱,因而普遍感到高等代数抽象、难理解、不好学。特别是教材的后半部分(内容为向量空间、欧氏空间、线性变换及二次型等)比前半部分更抽象、难学。根据以往的经验。本学期我在教学中就尝试采取一些新办法来帮助学生克服学习困难:     

向量空间基和维数的等价定义及求法

在现行各种高等代数教材中,对于有限维向量空间的基和维数的定义各不相同,本文将对几种定义的等价性问题加以讨论,并给出有限维向量空间的基的求法。定义Ⅰ如果在向量空间V中有n个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无关的     

向量参与解题方法的多样性

新编高中数学教材引入平面向量的内容，对于惯用传统教材的教师及学生无疑是一个全新的东西。向量不同于数量，它是一种新的量，既具备几何性又具备代数性，它把空间量的性质与运算有机地联系起来，形成一套完整的运算通性，既有向量运算又可进行坐标计算，正如解析几何是平面几何与代数的联结体一样，向量方法在解几里独树一帜，常常比其他方法更具直观、简捷的鲜明特点。掌握好平面向量的运算特性，无疑有助于学生今后的学习与提高。下面就几个向量重点解决的问题举例说明如下。1平行问题向量运算除了运用于三角形法则，平行四边形法则解…     

LAPLACE定理引理证明的一点改动

高教版《高等代数》第二章第八节中谈到行列式的乘法规则—LAPLACE定理,对该定理的证明及运用取决于对定理引理的证明。笔者在教学过程中发现,对教材中引理证明的最后几步作些改动,可使初学《高等代数》的学生更易于接受、理解。     

最小项二乘法中的一个问题

在北京大学编的高等代数教材里(第365-367页),讨论最小二乘法时,指出无解的线性方程组AX=B(1),利用“向量到子空间各向量间的距离,以垂线再短”的性质,可以找到最小二乘法解,此解必须满足法式方程,A’AX=A’B(2),且可以知道(2)的任一解,都是(1)的最小二乘解.但是教材中没有指明或证明,“向量到子空间各向量间的距离,以垂线最短”的垂线是存在唯一的.     

“向量的线性相关性”教学的一点体会

《高等代数》教学中,“向量的线性相关性”这一内容是教学的一个难点.有人曾说:“线性相关,真是一关”,情况确实如此.我以为,学生感到这一内容“难”的原因在于:一、本内容处在从具体到抽象的转折点上.一般《高等代数》书本都把它安排在行列式、矩阵、线性方程组之后,线性空间的基底之前,前面的内容如行列式性质与计算,仍然以具体方法为主,学生较易接受.但一转入向量空间、抽象的概念大批出现,     

略谈高等代数中容易误解的概念

高等代数中,一个突出而鲜明的特点是概念的高度抽象性与定理的高度概括性。因此对一些基本概念能正确的理解与掌握是一件颇为困难之事。为了帮助同学们能正确理解和掌握这些基本概念,现将高等代数中部分容易误解的概念加以整理,供同学们在学习中参考。     

变抽象为具体化枯燥为生动--就《高等代数》专科到本科的教学实践谈教学改革

《高等代数》是大学数学专业的重要基础课程，也是学生普遍感到枯燥、抽象、难学的课程。文章就如何调动学生学习该课程的积极性与自觉性，讨论了结合教学改革，提高学习效果的一些做法、经验和体会。     

Desargues定理的代数证法

在引进＂坐标向量＂概念的基础上,利用著名的Lagrange恒等式及向量代数混合积的性质,证明了射影几何中重要的Desargues定理.     

《高等代数》教程之我见

《高等代数》是一门普遍让学生感到头疼的课,这与所用教材的教程有一定关系,本文就目前所用的教材提出了一种较为适宜的教程,并论述了实施它的可能性与有利因素.     

高等代数与解析几何课程整合的实验研究

高等代数与解析几何两门课程整合为一门课程进行教学,可以充分利用"代数为几何提供研究方法,几何为代数提供直观背景"的优势;对学生理解高等代数中的抽象概念、定理有较大的帮助;可以帮助学生从更高的层面来理解几何,也可避免两门课程中重叠内容的重复讲授与教学中学生所需知识不同步的问题,并增加数学方法的计算机实现以及实际应用等内容。总的来说,两门课程整合为一门的优化教学,比独立教学节约课时,且教学内容更丰富,教学效果略优于独立教学。     

环的挖补定理的推广

将环的挖补定理推广到欧几里得空间,并以推论的形式给出了线性空间的挖补定理;将环的挖补定理推广到非代数系统--拓扑空间,得到了拓扑空间的挖补定理.     

关于不变子空间问题的否定解(英文)

用代数方法进一步简化了不变子空间问题的否定解，在ｌ１上给出了一个不具有非平凡的不变子空间的有界性算子。特别是用向量的坐标计算代替了某些向量的范数估计，用一些简单的代数运算代替了紧空间技巧。     

师专高等代数教材改革初探

目前我国二、三年制师专数学专业高等代数课程的教材,多是借用本科师范院校或综合大学的,它们与师专的教学实际不尽相宜。况且,就是对本科院校而言,同教育要“面向现代化,面向世界,面向未来”的要求相比,这些教材也有待改革和提高。当然,作为尚无合适教材的师专来讲,教材改革和建设的任务就显得更加紧迫了。由于教学的需要,笔者曾于81年编了一套《高等代数讲义》上、下册,并通过教学实践作了修订,准备今年秋季再按修订本试教。在编写和修改工作中,我深深体会到,教材的编写是一项复杂、繁重而艰苦的工作。可以说,教材是编者教学经验,业务素养,管理水平和文字能力的综合反     

K_0空间嵌入连续函数空间

众所周知任何K空间X必代数且格同构于K空间C_∞(Q)的某完备正规子空间,其中Q是極端重紧致,C_∞(Q)表示Q上除一稀疏集外取值有限的实连续函数全体.曾提出问题:关于K_σ空间有否类似的结果?作者得到下面的定理说明了在较弱的形式下,此问题的答案是肯定的. 定理:任何K_σ空间X必代数且格同构于K_σ空间C_∞(Q)的某完备子空间,其中Q     

关于模糊向量组的线性关系及模糊子空间的性质

本文在[l]的基础上给出了一个模糊向量组线性相关的充要条件及几个推论,且以定理的形式给出了模糊子空间的若干性质。     

向量组的极大无关组的一种求法

在现行的许多高代教材与辅导资料中,都介绍了一种用矩阵的初等变换求向量组的极大无关组的方法,如目前浙江省中学教师合格考试中高代一课采用的武汉教育学院、北京教育学院、上海教育学院合编的教材《高等代数》中就如此介绍此种方法:(P136.例2)“解:用α_1,α_2,α_3,α_4为行向量作矩阵A,由于要找到组成最大无关组的向量,因此对A作行变换时要记住行的互换情况……”.这里只强调只须记住行互换情况,而这常常会引起学生错误地理解,误以为只要记住第一种初等变换就可以了,事实上用第二、第三种初等行变换可以达到互换行的情况,如     

《高等代数》课程教学探讨

《高等代数》是高等院校数学专业一门重要的学科基础课。针对该课程概念多、定理多,内容抽象且知识前后联系紧密的特点,就如何进行课程的教学进行了探讨。结合多年教学实践给出了具体做法。     

关于线性空间替换定理的证明

关于线性空间替换定理的证明袁辉平为叙述方便，将替换定理引述如下定理：设向量组线性无关，并且每都可以由向量组线性表示，那么ｒ≤ｓ，并且必要时可以对（２）中向量重新编号，使得用ｑ，马，．．．，ｑ，替换房，尺，．．．，ａ后，所得的向量组与（２）等价这个定理...     

用同态基本定理证明矩阵秩的一些性质

在高等代数中,许多关于矩阵的秩的性质的证明是比较复杂的.因此提出用近世代数中的同态基本定理来证明这些性质,这种方法简洁明了,便于接受.