复合函数y=f〔φ(x)〕单调性的一个初等解法

由于函数y=f(u)和u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)],其单调性的习题常见于各种教材及习题集中。特别是在高三总复习阶段,总结一下解题方法是有必要的。本文给出的定理,是把复合函数的单调性问题转化为基本初等函数的单调性问题。 我们约定:在复合函数y=f[ψ(x)]中u=ψ(x)称为里层函数,y=f(u)称为外层函数。     

对水平渐近线定义的探讨

在一般的《高等数学》教材中,曲线y=f(x)的水平渐近线是由极限定义的,即,如果limf(x)=A,则直线y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.该定义以及它的一般求法在实际问题中得到了广泛的应用,但定义中所包含的一种情形在教材中并没有得到明确,以致于在教学中教师和学生对此产生困惑。     

运用待定函数法解一类一阶微分方程

本文运用待定函数法,给出了一类一阶微分方程的解法,推广了文[1]、[2]所研究的有关结论。 我们考察方程 φ(x)f'(y)dy/dx+[ P(x)φ(x)+φ'(x)] f(y)=θ(x)其中θ(x),P(x)是x的连续函数,φ(x),f(y)是x,y的连续可微函数。 将(1)整理为     

圆锥曲线的外域与切线

一般来说,在直角坐标系中,两个变量x、y的多项式方程f(x,y)=0确定平面上一条(实)曲线,而不在曲线f(x,y)=0上的所有点由曲线划分成有限多个区域(连通开集)D_1、D_2、……D_n。在每个区域D_i内,多项式f(x,y)或者恒为正的,或者恒为负的。因此,对于给定区域内判断f(x,y)>0,或者f(x,y)<0,只须在该区域内任取一点计算其对应的值就完全可以了。     

关于二重富里埃级数的线性求和法

设C_(2π,2π)为满足下述条件的两个变数函数f(x,y)的全体:1°)f(x,y)关于每一个变数都是具有周期2π的周期函数;2°)f(x,y)是x和y的二元连续函数.对任意的f(x,y)∈C_(2π,2π)借助于数组     

解一阶隐方程时容易混淆的一个问题

一阶微分方程的一般形状为F(x,y,y′)=1 (1)当(1)满足隐函数定理的条件即(?)0时,可以将 y′解出,得到一阶显方程y′=f(x,y)或M(x,y)dx N(x,y)dy=0则可求解,然而,由     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

“数论”中一个定理的推广及应用

本文给出“数论”中关于解同余式的一个定理的推广,并说明其应用。 我们知道,合数模的同余式求解可化为形如f(x)≡0(modp~α)(1)的同余式或同余式组求解,其中f(x)∈Z[x],p为素数,一般“初等数论”教材中都介绍了形如(1)的同余式的一个特殊求解方法,这由如下定理证明给出。     

多元复合函数求导教学浅谈

多元复合函数求导是多元函数微分学的教学重点之一,又是教学的一个难点,本文就这部分内容的教学谈点粗浅体会。 利用图形、记忆法则 多元复合函数求导法则: 若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)有偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)有对x及y的偏导数,且计算公式:     

对称函数的性质

n 元函数 f(X_1,X_2,…X_n)称为对称函数,如果 f(X_1,…,Xi,…,X…X_n)=f(X_1,…,Xj,…,X,…,X=1,2,…,n.)。对称函数有许多特殊的性质,下面主要就二元函数来讨论对称函数的几个性质。显然,二元函数 f(x,y)是对称函数,如果 f(x,y)=f(y,x)。下面各性质中,总是假定 f(x,y)是对称的,不再作声明。     

关于二元函数可微的一个充分条件

关于二元函数f(x,y)为可微的充分条件,在一般中文教科书里是这样给出的: 若函数Z=f(x,y)的偏导数f_x、f_y在点(a,b)及其某一邻域内存在,且在这一点它们都连续,则函数f(x,y)在点(a,b)可微。 然而,这种要求f_x,f_y同时在点(a,b)存在且连续的条件实在太苛刻了。LouisBrand在他的书(详见参考文献)中,减弱了该条件,证得了f(x,y)在点(a,b)     

二重积分计算中“分部积分法”的应用

众所周知,计算二重积分的基本方法是将二重积分化为累次积分,但有时碰到所化成的累次积分不易计算(被积函数的原函数在初等函数中不存在)如此时,通常处理的方法是交换积分顺序,如上述积分改为本文将“分部积分法”用于不易积分的累次积分,常常可不交换积分顺序而极方便地算出该累次积分。     

(R)积分顺序可交换的充要条件

本文在文[1]的基础上把含参量的(R)积分顺序可交换的条件再加以削弱,得到如下定理:设f(x,y)在R[a,b;c,d]上定义并有界,则成立的要条件是f(x,y)分别对x、y均(R)可积。     

积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

关于Fejér算子的逼近度

设σ_n(f、x)=∫(?)f(x-u)K_n(u)du、其中k_n(u)为Felér核。即;K_n(u)=1/(2πn)(sin~2nu/2)/(sin~2u/2).且f(x)∈C_(2x)。用ω(δ·f)=max|f(x)-f(y)|表示连续模。     

函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有     

求一类三阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便公式

对于三阶常系数非齐次线性微分方程y＇＇＇+py″+qy′+ry=f(x),当f(x)=P3(x)eax或f(x)=P3(x)eλxcos ωx+Q3(x)euxsin ωx(P3(x),Q3(x)为三次多项式)时,有一种求特解的简便公式,并且利用该公式可容易地在计算机上编程计算.     

关于对称性的两个定理

在一个问题中存在对称性时,若能充分利用这一性质,常常可以起到化繁为简、变难为易的作用。本文介绍两个关于对称性的定理,以及它们在定积分中的应用。 我们知道,若函数f(x)在其定义域内满足f(x)=f(-x),那么f(x)关于y轴(x=0)对称;若满足f(x)=-f(x),那么f(x)关于原点(0,0)对称。一般地,我们可以得到如下性质:     

二重极限存在的一个充要条件

本文给出一个关于二元函数的二重极限存在的充要条件和三个推沦,并举例说明它们的简单应用。我们约定采用中关于二重极限的定义,D为R_2中的点集,f(x,y)是定义在D上的二元函数. 定理若P_0(x_0,y_0)是D的一个聚点,则 lim f(x,y) x→x_0 y→y_0     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。