无穷级数收敛性的狄利克雷判别定理条件的必要性

在无穷级数与无穷积分的收敛性判别定理中,狄利克雷(Dirichlet)判别法占有相当重要的地位.对此判别定理中所设条件的充分性在大多数数学分析教材中都作了论证,然而该定理中条件是否必要呢?本文对此提出一点看法,并就在常数项级数,函数项级数及无穷积分中     

不相交并和一阶语言的有穷模型性

在模型论语义下,一个公式是否具有有穷模型往往和可计算性相关.但是我们也可以仅仅从基数的角度来观察,譬如在一阶语言里,是什么样的因素强迫一个公式有或者没有有穷模型.对比于一个有穷模型的所有理论①都具有有穷模型性这一事实,发现存在另外一类无穷模型,通过不相交并的方式构造出来,因而它们的所有一阶理论都有有穷模型性.     

无穷维半模格的极大链

本文给出了“有穷维半模格的任两个极大链有同长”的Ore定理在无穷维时是不成立的另一证明:     

含参变量无穷积分一致收敛性的判断技巧与应用

在探讨各类《数学分析》教材中关于含参变量无穷积分的定义和判敛方法的基础上,通过几个常见问题的分析解答,归纳出含参变量无穷积分一致收敛性的判断的若干技巧,并讨论了含参变量无穷积分在学习和实践中的应用价值.     

中学数学“无穷”问题完备性策略初探

结合数学史知识介绍了实无穷和无穷大及两种无穷观的思想,探讨了其对中学数学概念教学的启示。结合多年的教学实践,探讨了"无穷"问题完备性,阐述了"无穷"问题的研究价值及解决"无穷"问题的数学策略。     

关于函数对称性与周期性的关系

函数的对称性与周期性在数学分析中的重要意义是众所周知的。对其两者之间的外在联系却很少有文章论述,本文对此作些探讨。本文中,f(x)的定义域均为实数集R;a、b、(?)具有关系;a(?)b,(?)>0,f(x)关于点或直线对称是指其图象关于点或直线对称。     

无穷区间上连续函数一致连续的判定

众所周知,函数的连续性是建立在点上的。即使是函数在区间上的连续性,也是建立在点上的。因此函数的连续性是一个局部性的概念,而函数的一致连续性才反映了函数在整个区间上的整体性质。一般来说,只有闭区间[a,b]上的连续函数才具有一致连续的性质,(Cantor定理)而对于其他类型的区间,函数在其上连续一般不能导致函数在其上一致连续。譬如函数f(x)=sin(π/x)在区间(0,1)内连续,但在(0,1)内却非一致连续,这样的例子可以举出很多。因此,讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中一个很重要的问题。显然在某个区间上连续的函数自然就可以分为两大类:一类是非一致连续的,另一类是一致连续的。在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的一致连续性讨论得较多,对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些讨论,但大多是关于它的充分判别法,而对它的充分必要条件谈及甚少。     

关于极限证明中的“δ”

极限是数学分析的基本概念和重要工具 ,因而极限理论是数学分析教学中的一个重点和难点。而极限证明题的练习则是帮助学习者深刻理解极限概念的重要环节。在极限证明题中 ,有一个问题使学生颇感头痛。而对此问题 ,在诸多的教科书及习题解中均未详加论述。本文拟对此加以探讨 ,以求找出一个明确的、可行的有效解决办法。先叙述一下下面将要用到的函数极限的定义。定义 :函数ｆ(ｘ)在ａ的去心领域内有定义 ,如果存在数ｂ,对任意ε>0 ,总存在δ>0 ,当 0 <|ｘ-ａ|<δ时 ,有|ｆ(ｘ) -ｂ|<ε则称函数ｆ(ｘ) (当ｘ→ａ时 )存在极限 ,极限是ｂ ,表为…     

数学分析的思维与认知过程

在分析了数学分析中概念和定理的特点基础上 ,研究了数学分析思维与认知过程中的抽象、形象化、概念意象、证明等主要方面 ,并阐述了数学分析思维与认知研究对数学分析课程教与学的意义     

含参量无界函数非正常积分一致收敛性的几个判别定理

各种《数学分析》教材中 ,一般地 ,对含参量无穷限非正常积分都给出了较为详细的研究 ,得出了一系列一致收敛性的判别定理。但对含参量无界函数非正常积分却仅给出了一致收敛的定义。本文得出了一系列含参量无界函数非正常积分的一致收敛性判别定理     

培养学生的数学分析和推理能力

如何让学生掌握和提高数学分析能力 ,是现代数学教学中对学生提出的新的要求 ,以往在高等数学教学过程中 ,往往只重视学生对基础知识的掌握 ,而忽视了运用数学分析方法解决问题的技巧训练。实际上 ,在数学教学过程中 ,基本概念、定义、定理等其内在的联系和在运用中的相互作用 ,是应该贯穿整个数学教学的思想和方法。例如 ,函数的可变性和连续性 ,其引出导数 ,积分等概念 ,适当地运用数学分析方法 ,在习题中进行简单的数学分析 ,可以加强学生的分析能力 ,激发学生的学习兴趣 .因此 ,培养学生数学分析和推理能力亦是新时期对我们教师提出的新…     

数学的对象是什么

所有的科学是研究范式的科学,而数学是研究范式的范式的科学,数学的对象是所有可能的结构。集合和类之间的区别必须被理解为实结构和潜结构之间的区别,这种区别是一个结构的两个不同方面之间的区别：结构的纯关系概念和结构的实在性概念,这一理解使真正的极大的集合论域的产生成为可能。亚里士多德把潜无穷和实无穷区别开来,得出结论：一般不存在实无穷的对象,无穷是没有结束的、非确定的、没有实现的,并且是不能完善和实在化的东西。数学的无穷概念明显不等于不可完全性概念,集合是确定的、似对象的、实在的和具有完全性的全体,一个集合是多样性的统一。     

也谈矢量场成为保守场的条件

《大学物理》85年第2期发表了《矢量场的旋度处处为零一定是保守场吗》一文,文中以无穷长载流直导线的磁场为例说明;若一矢量场的旋度处处为零,这个场不一定是保守场。对此,笔者认为似值得商榷。 文通过一无穷长均匀直线电荷所激发的静电场与无穷长载有稳恒电流的直导线所激发的磁场进行类比:     

数学分析与高等代数有关问题和方法的相互渗透

数学分析与高等代数中的理论及相关问题是不同的,处理问题的思想方法自然也不同,但它们之间又有密切的联系。本文通过实例说明了数学分析与高等代数有关问题的相互渗透与融合。     

收敛与极限及其形式化表述

本文的收敛与极限只指数列{a_n}的收敛和数列{a_n}的极限。这两个概念是数学分析最重要的基础概念,对它们理解得准确与否,直接关系到分析理论的学习和入门。 先看看刘玉琏老师在《数学分析讲义》(第三版)中是怎样引入这两个概念的: 定义 设有数列{a_n},a是常数,若对任意ε>0,总存在自然数N,对任意自然数n>N,有     

对函数级数“逐项可微分”定理的一点看法

我们知道,在数学分析中对函数级数有如下的“逐项可微分”定理: 若函数级数sum from n=1 to ∞u_n(x)满足下列条件 (i)在区间[a、b]上收敛,并且和为s(x)。 (ii)每一项在区间[a,b]上有连续导数。 (iii)函数级数sum from n=1 to ∞u_     

浅议导数中的模糊问题

导数是数学分析中的一个基本概念,它在数学分析中起到承上启下的作用,是一个非常重要的知识点。在教学过程中学生常常会遇到一些似是而非的模糊问题,这影响了学生对导数知识的理解,为了使学生精准的掌握导数的相关知识,本文结合教学经历,对导数中的模糊问题进行了剖析。     

关于只有一个极值点的连续函数的最值问题

无论在实用上还是在数学分析课的教学中,都经常遇到“求只有一个极值点的连续函数的最大(小)值”。也许是它比较简单,一般数学分析课本都都没有系统地阐述。可是,对于一元函数和多元函数来说,其结论是有所不同的,这又容易为常人所疏忽,初学者则更会混淆不清。下面结合几年来的数学分析课教学实践谈点认识与体会。     

语言构造机制的逻辑语义学研究

自然语言的计算机信息处理要求电脑对人脑构造或理解语言的机制进行模拟,这种模拟首先需要逻辑语义学对语言构造机制的先期研究。简言之,语言构造机制显示出两个特征：1.有穷多的词条作为出发点;2.依据有穷多规则去构造和理解无穷多的语句。多年来,逻辑语义学各分支不同程度地描述了语言构造机制的两个特征,但对其中特征1的刻画却不充分,而语言学对此却有不俗的表现。于是逻辑语义学和语言学形成互补局面,“互补”产生了组合范畴语法CCG。本文揭示了CCG对语言构造机制两个特征的兼容并举,从而展示逻辑语义学在理论上对电脑模拟人脑构造语言机制工作的指导作用。     

学生"数学分析"课程成绩与电类基础课成绩相关性实证分析

文章统计了电子工程系2002、2003级数学分析课程各分数段的学生在四门电类主干课中的成绩分布情况,分析了学生"数学分析"课程成绩与电类基础课成绩的相关性.分析表明,学生对数学分析以及数学类课程的学习理解程度直接影响着专业基础课的学习.