一些常见的特殊函数的原函数的确定

现行《数学分析》教科书关于不定积分一般有如下表述: 定义1:设F(x)与f(x)在区间I上都有定义,若在I上F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。 定理:若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数F(x)。     

指数函数的一个充要条件

、预备定理一xlmco(卜:)x= 定理:设f(X,y,…,z),g(X,。的推广y,一)=co·②x黑。〔,(X,函数,则x黑。〔卜g‘X,y, y,…,y, z)…,z)是n维空间D。上的连续函数,若① limX净Xof(x,·g(x,,,〕‘(x,y,… y,,z)_…,z)〕=f:(y:,…,z)是D:_:上的连续efl(y,一z).证明:由①知,存在a>0,对Vx任(x。一a,x。+a)有f(x:,v,…,z)子0再由②得g(x:,y,。二,z)=工喂毖:君瑟鱼2 且xle:mx。a(x,)=0.故根据极限的定义和连续函数的性质有: limx,xo 1 im〔‘+“x,y,一,,〕’‘x,y,一z,〔“g‘Xl,y,…,·)〕“‘1,y.,.,z)X王一x。f(x,,y,一,z)fl(y,…z)+0(x,)f,(y,……     

关于常系数线性非齐次递推关系的求解

本文利用构造生成函数的方法给出常系数线性非齐次递推关系:h(n)=a1h(n-1) … akh(n-k) f(n)解的-般公式及其应用,其中f(x)为一般函数.本文的方法是对文献[1][2]中特殊形式f(x)=βnP1(n)求解的一种推广,此方法更具有一般性.     

一般中值定理的推广

下面所有函数都是实变量x,a≤x≤b实值函数。这里a和b是不同的实数。 令f(x)在x=a处有n≥1阶导数。令(T_(n,a)f)(x)表示f(x)在x=a处Taylor多项式的前几项,即     

柯西积分概念及其与黎曼积分的比较

本文首先介绍黎曼(Riemann)积分的概念,再由阶梯函数的积分定义和性质,引出柯西(Cauchy)积分,并与黎曼积分进行了比较.一、黎曼积分概念设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,给区间[a,b]一个分割法a=x_0相似文献   

若干积分不等式

在文中,我们曾给出了一系列离散型不等式的R·Rado型。对于连续型不等式来说,情况又怎样呢?循此思略路,我们获得了一系列新颖而有趣的积分不等式,值得回味的是,这些积分不等式几乎皆可由相应的离散型不等式简单地导出。下面的讨论中,所用到的离散型不等式均可在文献中找到。定理1 设f(x),p(x)均为[a,b]上的可积函数,且f(x)∈[m,M],p(x)>0(x∈[a,b])为[m,M]上的连续凸函数,令     

微分方程“分离变量法”可靠性的证明

在用初等积分法解古典微分方程时,“分离变量法”是最基本的一种方法,而在一般的教本上只介绍方法,对此方法求解的可靠性并没有给出证明,下边给出“分离变量法”可靠性的一个证明: 在方程(dy)/(dx)=f(x,y)中,若f(x、y)可以表示成两个单变量函数之积,则方程是可分离变量的方程:     

黎曼积分的一个等价定义

众所周知,黎曼积分的定义有两个“任意性”,本文将其中的区间任意分改为等分,证明了由此定义的较弱积分与黎曼积分等价。从而使我们对黎曼积分有了进一步的认识。设函数f(x)在[a,b]上有定义,在[a,b]内插入n-1个等分点x_1=a (b-a)/ni,i=1,2,……,n-1。使 a=x_o相似文献   

函数的可定义性与Lebesgue定理的推广

有一个“实变函数论”的问题如下.设C=[-1,1],R为C中一切有理数的集合.试问:能否在[-2,2]上定义一个函数f(x),使f(x)在C上处处不连续而在R上处处左连续?这个问题可推广为下述的一般形式.设C是[a,b]的一个非空有界完全集,R是C的一个稠密子集.试问:能否在[a,b]     

微分多项式的例外值

设f为: 内超越亚纯函数,n和K为自然数,n≥2,k≥1,a(z),a_0(z),…,a_(k-1)(z)为f的小函数并且a(z)≠0,∞,本文证明了T(r,f)≤7(2k 3)N(r,1/(f~nn〔f〕-a) s(r,f)其中p〔f〕=f~(〔f〕) a_(k-1)f~(k-1) … a0f。     

极值和最值的关系——从一个命题的不足所想到的

在有关极值教学内容方面,有这样一个命题: “如果函数f(x)在一个开区间内可导且有唯一的极值点x。那么当f(x_。)是极大值时,f(x_。)就是f(x)在该区间上的最大值;当f(x_。)是极小值时,f(x_。)就是该区间上的最小值。” 这一结论的直观意义似乎是很明显的,因此,一般的教科书都没证明(见图1,2)     

隐函数存在定理的推广

定理一:若(1)成数;、.、)在(x。,;。)f,:域里连续,且F(x。, (2)在在(x。,y。) (l)在巧八,乒阵在一个连续函数”(X,y,今0使“‘X, 3厂。)=Oy)F(x,y)域里关于变元y递增(或递减)则有:,y。)的某一个邹域里存在一个单值函数y=y(x),且y。一y(x。) J廿目舀,Z‘、月.t曰﹃ 1 21、满足F(x,y(x))二o (2)y=y(x)是连续的 证明:令H(x,}一)=h(x,J)F(x,y),则H(x,y)满足一般隐函数存在条件 1,,H(x,,)在(、。,,一。)价;;域中连续。(因为h(、,一,)、F(x,。!)连续 2 oH(x。,y。)=h(x。,y。)F(x。,y。)=o 3“.H(x,y)关于变元y单调故在(X。,y。’)价};域…     

关于二阶递归数列的通项公式

探求二阶递归数列的通项公式的常用方法是:猜想——归纳——数学归纳法证明,这种方法的优点是解题思路自然直观,但缺点是运算量较大,有时规律不易发现,下面探求用特殊方法求二阶递归数列的通项公式。 一、递推式为X_(n 1)=aXn b,a,b均为常数,a≠0,1,x_1(已知)。     

一类非标准增长泛函极小的正则性

本文考虑非标准增长泛函 I(u)=integral_G(f(|((?) u|~2)dx) f(t)=(ε t)~kln(1 t),ε∈(0,1),k∈(1/2),1)). 证明它的极小在G内的正则性。     

与奇、偶函数及周期函数相关的积分运算中的几个问题

本文讨论在一个确定的闭区间〔-a,a〕上,对任一函数f(x)。当定积分integral form n=-a to　∞ (dx/x)时,被积函数f(x)与奇函数的关系。当定积分integral firm　n=-∞ to a(dx/x)integral form n=0(dx/x)时.被积函数(x)与偶函的关系。以及当integral form n=∞ to a T(dx/x)=integral firm n=0 to T时.f(x)与周期函数的关系。     

Morse多项式及其应用（I）—拓扑形式及系数特征

作者对紧致n-维光滑流形M^n上的任意Morse函数f，引入一个n次多基式Mt(f)=-∑q∈Cftλq（其中：Gf为f的临界点集，λq为临界点、q的型数），称作Morse函数f的Morse多项械，再利用Morse理论及代数拓扑的技巧，建立了Mt(f)的系数与M^n的拓扑不变量的内在联系的关系式，从而得到了一个基本定理。     

对西部开发中科技创新生产要素的分析

西部开发主要任务是缩小东西部差距 ,目标是经济增长 ,经济增长关键是科技创新 ,科技创新是受诸多因素影响的 ,假设科技创新为Y ,诸多因素为X ,其中 ,X ={a ,b ,… } ,a代表宏观因素 ;b代表微观因素 ,那么 ,Y与x之间关系就是因变量与自变量之间的函数关系 ,即它们是函数Y =f(x) ,亦可表达为Y =f(a ,b)。笔者对制约和促进 y因变量发展的几个因素进行分析 ,使之能对西部开发科技创新的实践起到理论指导作用 ,具有重大现实意义。     

用均值定理求最值常见错误探讨

高中数学用均值定理求最值的应用中,常见学生对定理的条件认识模糊,以致出现不同类型的错误。公式(1) a,b∈R 时,a b≥2√ab,当且仅当a=b时等号成立。公式(2)a,b,c∈R 时,a b c≥33√abc,当且仅当a=b=c时,等号成立。 求最值时,必须满足三个条件:1)ai>0(i=1,2,…,n):2)a1=a2=…=an能够成立;3)和或积为参数。这三个条件缺一不可,现举列说明一些常见错误及原因。     

Lagrange中值定理的另一证明

在一般的《数学分析》课本中,对拉格朗日中值定理的证明都是通过构造辅助函数,而后利用罗尔定理去间接地证明它。现想就函数本身利用逐次逼近法直接加以证明。     

参数法求轨迹方程新探

在轨迹的求法中,参数法占有重要地位,应用十分广泛。某些轨迹问题,动点坐标(x,y)间无明显的直接关系,利用普通方法求轨迹方程往往比较困难和繁杂。若x、y是某参变量t的函数,其函数关系较容易获得,不妨就选t作参数,运用参数法求出轨迹的参数方程 x=g(t) y=φ(t),再消去参数得普通方程f(x,y)=0,使问题迎刃而解。