关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

一元三次方程的一种解法

<正> 对于一般的一元三次方程ax~3+ax~2+cz+k=0(a≠0)可以在方程两边除以a(a≠0的假设)后变形为: x~3+a_1x~2+a_2x+u_s=0     

丢番图方程x~3+27=67y~2整数解的研究

利用递归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x~3+27=67y~2的整数解,并求出了它的全部整数解为(x,y)=(-3,0),(1320,5859).     

关于不定方程x^2＋y^2=Z^2正整数解的一个推论

从另一个角度研究费马大定理。从“把一个平方数分成两个平方数”出发,通过研究发现,“把一个平方数分成两个平方数”有多种不同的方法,与不定方程有x2 y2=z2有多少组没有公约数的正整数解是同一问题。从而得到:有无数多种方法可以“把一个平方数分成两个平方数”,“把一个平方数分成三个平方数”,“把一个平方数分成四个平方数”,…,“把一个平方数分成n个平方数”。也就是说,不定方程X12 x22 x32=z2,x12 x22 x32 x42=z2,…,x12 x22 x32 … xn2=z2有无数多组没有公约数的正整数解。     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

求自然数方幂和的一个简单公式

求自然数方幂和有许多方法本文给出求自然数方幂和的又一公式,应用这个公式可以比较简单地求出自然数的任意次方幂的和。此公式具有简洁易记的好用的优点。 1 xe~x/(e~x-1)的展开式令f(x)=xe~x/(e~x-1),f(x)在x=0时为0/0的不定式,但有:所以我们定义f(0)=1,故f(x)可在x=0附近展开,由数学分析,我们有下面的展开式 xe~x/(e~x-1)=B_0+B_1x+B_2x~2/1·2+B_3x~3/1·2·3+……(1)其中B_0,B_1,B_2,B_3,……为待定系数。由级数相乘的理论,用下面级数 e~x-1=x+x~2/1·2+x~3/1·2·3+……(2)乘(1)的两边,左边的乘积等于     

解析函数唯一性定理的一个应用

<正> 在讨论解析函数时,需要把一个用实变量 x,y 表示的复函数化为用单复变量 z 表示的复函数。例如已知函数U(x,y)+iV(x,y)=e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)因为 U_x=e~xcosy+3x~2-3y~2=V_yU=-e~xsiny-6xy=-V_x在 Z 平面上,C-R 条件处处满足。所以所给函数在 Z 平面上解析。现在把它化为变量 Z 的函数。e~xcosy+X~3-3xy~2+i(e~xsiny+3x~2y-y~3)=e~x(Cosy+isiny)+(X~3+3x~2yi-3xy~2-y~3i)=e~x·e~(iy)+(x+iy)~3=e~z+Z~3在化简此类式子时,究竟那几项结合才能顺利地进行下去,这是不易一眼看出的。     

关于丢番图逼近中的一个猜想(Ⅰ)

证明了Cusich提出的猜想(Ⅰ).对于任给的n个正整数a1,a2,…,an总存在一个实数x,使得‖ aix‖≥1/n+1,i=1,2,…n成立.其中‖x ‖表示x到其最近整数的距离.     

关于丢番图逼近中的一个猜想(I)

证明了Cusich提出的猜想 (I) .对于任给的n个正整数a1,a2 ,… ,an 总存在一个实数x ,使得‖aix‖ 1n+ 1,i=1,2 ,…n成立 .其中‖x‖表示x到其最近整数的距离     

线性变换在数的整除性问题中的应用

给定正整数m,以及整数集上的复值函数,其中C_j~((i)),λ_i均为复数,多项式。当g(x)为整系数多项式时,我们给出了对任意整数n≥a(a为某一整数),m|f(n)的充要条件。当(/;(x)为常数项是±1的整系数多项式时,我们给出了对任意整数n,m|f(n)的充要条件。     

圆内整点问题浅解

所谓圆内整点,就是适合 x~2+y~2≤A之整数对x、y之对数,也即是以A~(1/2)为半径以原点为中心所作圆中之整点的数目。 关于圆内整点,在国内已有重要的华罗庚公式和陈景润公式。 本文拟通过构造整点序数平方和三角表及与之相对应的圆整点数目三角表,总结出求圆内整点的一个浅明方法,现阐述如下。     

关于(x~p+y~p)/(x+y)的素因子的一个命题及两点应用

Ⅰ 设P是奇素数,x、y是整数,本文讨论整数(x~p+y~p)/x+y的素因子问题,关于这个问题有下面结果: 命题Ⅰ:设P是奇素数,x、y是互素的整数(x+y≠0),那么对于(x~p+y~p)/x+y的任一素因子q有: i) q≥P ii)若q≠p,则p|q-×,即存在正数h,使q=2hp+1。 为了证明命题Ⅰ,先证明下面的引理: 引理:设k、m是互素的正奇数,x、y、d是整数,若d|x~k+y~k,d|x~m+y~m,则d|x+y。 证:为了方便,不妨设(x,y)=1、((x, y)≠1结论同样成立。) 此时有(x,d)=1 (y,d)=1     

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

形如1＋p^2 （x（x＋1））/2的平方数

设p是素数,fp（x）=1＋p2x（x＋1）/2.该文运用二元二次Diophantine方程的性质讨论形如fp（x）的平方数,其中x是正整数.证明了：对于任何素数p,都存在无穷多个正整数x可使fp（x）是平方数.     

高压输电网设计中出现的二阶非线性方程的全局性态分析

本文研究高压输电网设计中所出现的系统 x+RF＇(x)x＇+1/LF(x)=Acosωt,F(x)=L(x+βx~7)。 对方程进行了定性分析,指出方程的一切解是有界的,给出了存在唯一周期为2π/ω的周期解的条件,系统存在平稳状态的振荡的参数的取值范围。     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

无平方因子数的k次方和

1 引言与结果 一正整数如不能被素数之平方所整除,则谓之无平方因子数。我们用Q_k(x)表示超过x之平方因子数之k次方和(k为实常数),当k=0时,Q_0(x)意表示超过x的无平方因子数之个数,[1]中有如下结果: Q_0(x)=(6/π~2)x十O(x~(1/2))。 本文将进一步获得下列结果: 定理1 若k≥0,则:     

《岭南师范学院学报》2016年第1～6期总目次

主要利用同余式、平方剩余、Legendre符号的性质等初等方法证明了P≡1(mod24)为奇素数,q=73,97,241,409,(P/q)=-1时,Diophantine方程x~3-1=Pqy~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

用判别式法求函数值域时应注意的问题

几乎所有的有关求函数值域的书刊,都介绍了判别式法。然而其中明确指出运用这一方法求函数值域时应注意的问题的却为数不多。学生在求二次函数和形如y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x+b_2x+c_2)的有理分式函数的值域时,常喜欢用判别式法,但又往往出错。这是什么原因?又应注意些什么问题呢?     

关于丢番图逼近中的一个猜想(1)

对猜想:对于任给的a个正整数a_1,a_2…,a_n总存在一个实数x;使得|a_ix|≥1/(a+1)+1 i=1,2,…,a成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的a个正数■,■,…■,总存在a个整数k_1,k_2,…,k_m和a个正数y_1,y_2,…,y_m,使得且(a+1)k_x+1 i=1,2,…,a成立,并给出n=2,3,4时的证明,其方法不同于以前的方法.