非齐次常系数线性微分方程解法的简化公式

<正> 本文在将常见的几种类型的方程归结为最简单的一类; Z~(n)+b_1Z~(n-1)+…+b_(n-1)Z~1+b_nZ=P_m(x)时,给出了一个无需记忆的非常整齐的公式,用于解方程时可直接套用。 定理:已给方程:y~(n)+a_1y~(n-1)+…+a_(n-1)y~1+a_(n)y=P_m(x)e~(λx)则在替换:y=Ze~(λx)下,方程化为:     

函数值域的求法及其策略

求函数的值域是一个比较复杂的问题 ,也是很重要的问题 ,因为它和求函数的最值问题紧密相关 ,同时也是高考命题的热点之一。因此 ,掌握函数值域的求法是至关重要的。一、反函数法。例 1:求函数ｙ =2ｘ -3ｘ 1的值域。解 :由ｙ =2ｘ -3ｘ 1得ｘ =ｙ 32 -ｙ,∴ｙ≠ 2故原函数的值域为{ｙ|ｙ∈Ｒ且ｙ≠ 2 }小结 :分子、分母中只有一次项的可用反函数法。另解 :此类题目也可采用“分子常数法。”解 :ｙ =2ｘ -3ｘ 1=2 (ｘ 1) -5ｘ 1=2 -5ｘ 1≠ 2二、判别式法。例 2 :求函数ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ 1的值域。解 :由ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ…     

关于 Laplace(常)微分方程中的一个基本公式及其应用

引言给定方程y″ (a_0 a_1/x)y′ (b_0 b_1/x)y=0或xy″ (a_0x a_1)y′ (b_0x b_1)y=0 (1)若 a_1=b_1=0 则(1)变为常系数二阶线性方程,故可用欧拉方法解之。若 a_1,b_1,不皆为零,则欧拉方法不适用,而需用拉普拉斯变换。所谓拉普拉斯变换,就是这样的一个积分:y(x)=(?)e~(xz)U(z)dz (2)其中 U(z)是待定的复变函数,L 是在 z 平面上与 x 无关的待定路线。我们的目的,在于适当的规定 U(z)和 L,使得 y(x)为(1)的一个不恒等于零的解。为此,我们先作一些形式的处理。     

应用平均值不等式求函数最值

平均值不等式详见高中代数下册P8,不等式定理1的推论:如果a,b∈R~ 那么(a b)/2≥ab～(1/ab),当且仅当a=b时取‘=’号.”并且能推广至n个正数的平均值不等式:a_1,a_2,…,a_n∈R~ ,(a_1 a_2 … a_n)≥(a_1a_2、a_n)~(1/(a_1a_2、a_n)上述推论广泛应用于求函数的值域,最大最小值以及证明不等式,在近几年高考题中多次考查.     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

多项式理论中未定元的替换

本文初步讨论一元多项式理论中未定元的变化的一些简单问题,我们称之为未定元的替换。在大多数〈高等代数〉书,如[1],[2],[3]中,一元多项式都被定义为形式表达式a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0,而x被称为文字。由于没有给x以确切的定义,所以,在有的情况下,就不能作出严格的论述。如,y=x+1的意义是什么,就难于解说。但是,在[4]中,对此作了严格的论证,并将称之为文字的x,叫做未定元。x有确切的意义,见[4]P101—P109,本文将在此基础上进行讨论。     

求函数值域的方法与技巧

求函数的值域,往往要涉及多方面的知识,因此加强和重视这一内容的教学,既可勾通代数、三角、几何等知识之间的联系,又能提高学生分析问题解决问题的能力和综合应用知识的能力。求函数值域的问题类型很多,解法技巧性很强,其常见的类型及其解法主要有以下几种,现分别举例说明如下。 恒等变换法     

高等数学在中学数学解题中的应用

高等数学是由初等数学发展而来的,它们之间有着紧密的联系.然而我们平时在学习中常常意识不到这一点,总认为学习数学分析等课程对当一个中学数学教师没有什么直接关系.本文通过对几道中学习题的解答,说明了高等数学知识对中学数学教学的重要性和必要性.例1 求使 sin~2x+2sinzcosx-2cos~2x=m 恒有实根的 m 的范围.由数学分析知识,该问题转化为求函数:f(x)=sin~2x+2sinxcosx-2cos~2x 的取值范围.利用     

指数函数和的零点分布

§1.引言:在微分方程式的稳定性理论中,有时关联到指数函数和的零点分布问题。例如贝尔曼(参考文献1,2)在讨论方程式中(d/dt)u(t+1)=a_1u(t+1)+a_2u(t)u=φ(t) 当0≤t≤1此 u(t)的有界解存在的条件为se~s-a_1e~s-a_2=0的根全部落在 R(s)=-λ<0的左半平面内。我们要问 a_1及 a_2要满足什么条件才有这样的分布呢?为了研究这一类的问题我们来讨论更广泛的问题即所谓指数函数和     

在机会约束规划中的随机决策问题

Vajda考虑过以下的决策问题:Min(X_1+X_2),s.t.Prob(X_1/9+X_2≥b_1,X_2/9+X_1≥b_2=1/8X_1≥0,X_2≥0其中b_1是在(0,2)上的具有均匀分布的随机变量,b_2是在(0,4)上的具有均匀分布的随机变量,b_1和b_2是相互独立的。他指出这一问题存在着确定解。     

耦合非线性Schr?dinger方程初边值问题整体解的适定性（英文）

考虑如下耦合非线性Schr?dinger方程的初边值问题:{iu_t+pΔu=(a_(11)|u|~2+a_(12)|v|~2)u,(t,x)∈[0,∞)×Ωiv_t+qΔv=(a_(21)|u|~2+a_(22)|v|~2)v,(t,x)∈[0,∞)×Ωu(t,x)=0,v(t,x)=0,(t,x)∈[0,∞)×Γu(0,x)=u_0(x),v(0,x)=v_0(x),x∈Ω( S)其中Ω是R~2中具有紧光滑边界Γ的区域。当p 0且q 0时,假定(pa_(11)pa_(12)qa_(21)qa_(22))半正定,或者(pa_(11)pa_(12)qa_(21)qa_(22))负定且(u_0,v_0)适当小,证明了初边值问题(S)解的整体适定性。     

浅议幂级数逐项积分、逐项微分后的收敛域

如果幂数级数: Sum form n=0 to ∞ (a_nx~n=a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n+…) (1) 的收敛区间是(-R,R),则将幂级数(1)在(-R,R)内逐项积分、逐项微分后所得的幂级数分别为:     

联合比喻的结构形式初探

联合比喻是两个或两个以上(为了叙述方便,下面只提“几个”)比喻结合在一起使用,而且二者之间要有一定的意义联系。如 (1)幻想是驰骋四方的马蹄, 正冲破那些陈腐观念的障碍。 (《诗刊》80年第8期第25页)面我们用a代表本体,b代表喻体,n代表出现单个比喻的数量,就可得出这类比喻的公式: a_1b_1+a_2b_2+……a_mb_m 从理论上来说,n的数量可以是无限的;但在实际应用中则视需要而定,一般     

常系数齐线性差分方程公式解的推广及其证明

众所周知,一般教材上只介绍常系数齐线性差分方程的公式解。其实,结论对于变系数齐线性差分方程同样成立。下面将给出证明。 定义1 设a_0,a_1,a_2,…,是一个无穷序列,则称关于a_n,a_(n+1),…,a_(n+k-1),a_(n+k)的方程 λ_0a_(n+k)+λ_1a_(n+k-1)+…+λ_ka_n=0 (1)为k阶齐线性差分方程。 这里k是自然数,λ_j(j=0,1,2,…,k)是关于n的函数,λ_0λ_k≠0。 定义2 关于x的一元k次方程     

一元三次方程的一种解法

<正> 对于一般的一元三次方程ax~3+ax~2+cz+k=0(a≠0)可以在方程两边除以a(a≠0的假设)后变形为: x~3+a_1x~2+a_2x+u_s=0     

逐步回归分析及其在气象预报中的应用

本文介紹回归問題中挑选出重要的自变量,并建立回归方程的一种方法——逐步回归分析方法及其在气象要素(降水)預报方面的应用。§1 什么是逐步回归分析? 我們知道,研究一个变量(因变量)Y与其它n-1个变量(自变量)X_1,X_2,…,X_(n-1),的相关关系可用回归分析的方法,从N組观測数据出发,配作回归方程■=■+b_1(X_1-■_1)+b_2(X_2-■_2)+…+b_(n-1)(X_(n-1)-■_(n-1),(1)其中偏回归系数b_1,b_2,…,b_(n-1)由线性代数方程组(正規方程組)     

p(n,k)×k_3的1-因子分解

图G和H的笛卡儿积G×H定义如次: (i)选取H的一种标号; (ii)在G的拷贝中,每一顶点用H的一个拷贝代替; (iii)G的每一边用连结(该边端点)对应的H的两个拷贝的相同标号顶点的边集代替。 换言之,如果V(G)={a_1,a_2,…,a_g},V(H)={b_1,b_2,…,b_h},则V(G×H)=V(G)×V(H),而(a_i,b_j)adj(a_k,b_1)当且仅当a_i adj a_k且b_j=b_1     

求函数值域的几种方法

函数值域在研究函数的性态以及在解有关实际问题时起着重要作用。本文借助初等函数等有关知识,归纳出几种求函数值域的方法。 1.观察法 对于某些简单的函数,可以通过对已知函数的定义域及对应法则的观察与分析,或者利用函数的性态,直接确定函数的值域。     

关于丢番图逼近中的一个猜想(1)

对猜想:对于任给的a个正整数a_1,a_2…,a_n总存在一个实数x;使得|a_ix|≥1/(a+1)+1 i=1,2,…,a成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的a个正数■,■,…■,总存在a个整数k_1,k_2,…,k_m和a个正数y_1,y_2,…,y_m,使得且(a+1)k_x+1 i=1,2,…,a成立,并给出n=2,3,4时的证明,其方法不同于以前的方法.     

一类最省包装用料的数学方法

<正> 设商品是长方体,三个尺寸分别为a_1、a_2、a_3(无妨假定a_1≥a_1≥a_3),数量为a(正整数)。为了充分利用包装箱的容积,箱型应设计为长方体。在忽略包装纸板厚度时,为使包装用料最省,就必须使箱型表面积最小。为此,如何设计包装箱的尺寸?即商品的合理排