两个恒等式的证明

在初等代数里 ,我们常常可见到这样的恒等式 :若 ａｂ=ｃｄ,则　　 (ａ +ｂ +ｃ) 2 +(ｂ +ｃ +ｄ) 2 +(ａ -ｄ) 2　　 =(ｃ +ｄ +ａ) 2 +(ｄ +ａ +ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 .有趣的是 ,上式中将 2替换为 4也成立 .即　　 (ａ +ｂ +ｃ) 4+(ｂ +ｃ +ｄ) 4+(ａ -ｄ) 4　　 =(ｃ +ｄ +ａ) 4+(ｄ +ａ +ｂ) 4+(ｂ -ｃ) 4.事实上 ,我们引进　　α =ａ +ｂ +ｃ ,　β =-ｂ -ｃ -ｄ ,　γ =ｄ -ａ ,　　α′ =ｃ +ｄ +ａ ,　β′ =-ｄ -ａ -ｂ ,　γ′ =ｂ -ｃ .它们满足　　α +β +γ =0 ,　α′ +β′ +γ′ =0 .这样 ,上述恒等式就变成 :若ａｄ =ｂｃ,…     

巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

由一道课本习题引出的解题策略及应用

现行高中数学《代数》下册第 1 2 5页有这样一道习题 :有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 3 7,第二个数与第三个数的和是 3 6,求这四个数。解 :设所求的四个数为 :ａ-ｄ ,ａ,ａ+ｂ,(ａ+ｄ) 2ａ则 (ａ-ｄ) +(ａ +ｄ) 2ａ =3 7ａ(ａ +ｄ) =3 6　　解得 :ａ1 =1 6ｄ1 =4或ａ2 =814ｄ2 =-92∴所求的四个数为 1 2、1 6、2 0、2 5或994,814,634,494。此题看似平常 ,实则内涵丰富 ,是一道不可多得的好题。笔者发现 ,凡对于一些题设中直接或间接出现形如ａ+ｃ =2ｂ(即ａ、ｂ、ｃ成等差数列 )的数…     

一类哈密顿系统被对称扰动后极限环的分布情况

一、引言文献 [1 ]中提到系统 (1 .1 )的类型 ,但没有进行深入的研究 ,所以本文对系统 (1 .1 )进行一些探讨 .ｄｘｄｔ=ｙ(1 ｘ2 -ａｙ2 ) εｘ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)ｄｘｄｔ=ｘ(1 ｃｘ2 ｙ2 ) εｙ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)(1 .1 )其中 :ａ >ｃ >0 ,ａｃ >1 ,0 <ε 1 ,ｍ、ｎ和λ为实参数 .该系统是带有对称扰动的Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 ,我们的目的是研究极限环分布情况及相图 .极限环的分布 ,是由于同宿或异宿轨线受扰动而变化后产生的 ,随着变量参数值的变化 ,我们发现许多有趣的各种各样的极限环的分布情况 ,用判定函数计算后 ,我…     

从易到难,触类旁通

“从易到难 ,触类旁通”的程序练习 ,是指解出一个或几个同类型的基本题 ,分析题目特点 ,得出解题规律 ,再对与基本题相类似 ,但比其更深更难的高层次题进行探讨 ,使学生所学知识能融汇贯通 ,并从中领会掌握规律性的解题方法 ,这样既有利于巩固基础 ,扩大知识面 ,提高解题技巧 ,又能训练思维的灵活性、敏捷性 ,增强应变能力。下面以作单摆类运动的物体的周期的计算为例来说明 :作简谐运动的物体的周期公式为Ｔ =2π ｍｋ ,ｍ为物体质量 ,ｋ为回复力Ｆ =-ｋｘ中的比例常数ｋ。对于作简谐运动的单摆 ,其回复力为Ｆ =- ｍｇｌｘ ,所以ｋ =ｍｇ…     

利用解析几何知识解代数几何问题的技巧

利用解析几何知识解题，在国内外数学竞赛中与各类考试中经常出现，但利用哪些解析几何知识解题，怎样对解题技巧和方法进行归类，参考书上很少给出。为了拓宽解题的途经与思路，本文在这类问题分析和探讨的基础上，给解题知识与方法作一归类，供大家参考。1用距离知识解决问题（例1），试确定的所有可能值。[分析]此题直接求很困难，若化为求距离的差，再用几何知识容易求得值域。（例2）如果x1和x2的绝对值不大于1，求证[分析]本题用代数知识难以证明，但由题意知x1，x2的绝对值不大于1，放立即想到作一单位圆，用距离知识化几何问题解决…     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

推理在训诂中的运用

推理在训诂中的运用徐颂列现代语言学家尼尔·史密斯和达埃德尔·威尔逊认为：“言语交际的基本模式必须包括下列说话人和听话人共知的因素：（ａ）一套语言知识（一种语法）。（ｂ）一套非语言知识的信念（一部百科知识）。（ｃ）一套推理规则（一种逻辑）。”（①，Ｐ１...     

关于极限证明中的“δ”

极限是数学分析的基本概念和重要工具 ,因而极限理论是数学分析教学中的一个重点和难点。而极限证明题的练习则是帮助学习者深刻理解极限概念的重要环节。在极限证明题中 ,有一个问题使学生颇感头痛。而对此问题 ,在诸多的教科书及习题解中均未详加论述。本文拟对此加以探讨 ,以求找出一个明确的、可行的有效解决办法。先叙述一下下面将要用到的函数极限的定义。定义 :函数ｆ(ｘ)在ａ的去心领域内有定义 ,如果存在数ｂ,对任意ε>0 ,总存在δ>0 ,当 0 <|ｘ-ａ|<δ时 ,有|ｆ(ｘ) -ｂ|<ε则称函数ｆ(ｘ) (当ｘ→ａ时 )存在极限 ,极限是ｂ ,表为…     

矩阵乘法教学中的几点思考

一、矩阵乘法的定义与实际意义在传统教材中 ,通常作出定义 1 :设Ａ =(ａｉｊ)是一个ｍ×ｓ矩阵 ,Ｂ =(ｂｉｊ) ｓ×ｎ是一个ｓ×ｎ矩阵 ,作ｍ×ｎ矩阵Ｃ =(ｃｉｊ) ｍ×ｎ,其中ｃｉｊ=∑ｓｋ =1 ａｉｋｂｋｊ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｊ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则称矩阵Ｃ为矩阵Ａ与Ｂ的乘积 ,记为 :Ｃ =ＡＢ即Ｃ =∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋｎ本定义对初学者而言 ,比较繁…     

如何做英语“完形填空”试题

完形填空题是一种立意新、要求高的综合性语言测试题。它既能考查学生的语言知识水平,又能检测他们的分析判断能力和综合运用语言的实践能力。本人试图从命题趋势、解题思路、解题步骤诸方面分析、探究该题型的特点、规律及解题技巧,以便使考生能更好地了解掌握该题型,提高语言综合运用能力。     

怎样打开平面解几三个公式中的绝对值符号

在平面解析几何中,含绝对值符号的公式有;点到直线距离公式;二直线交角公式和三点围成的三角形面积公式。本文拟讨论根据解题需要,怎样去掉绝对值符号。 一、点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式;d=|Ax_0+By_0+C|/(A~2+B~2)~(1/2)     

氯代磷酸—钙晶体的制备

氯代磷酸—钙是一种细白色片状晶体 ,其化学式是ＣａＣｌＨ2 ＰＯ4·Ｈ2 Ｏ ,它的制备可用磷矿和ＨＣＩ溶液在适当条件下一次完成 ,制备条件用正交实验确定、产品的检验可用酸碱滴定法测Ｐ2 Ｏ5 % ,用配位滴定法测ＣａＯ %、ＭｇＯ %和微量的Ａｌ2 Ｏ3% ,用分光光法测微量的Ｆｅ2 Ｏ3%。本文论述了ＣａＣｌＨ2 ＰＯ4·Ｈ2 Ｏ晶体的制备和制备条件。1　实验部分1 1　实验流程HCl母液(弃去 )渣母液渣 二洗液液一洗渣产品干燥晶体抽滤洗涤晶体抽滤冷却滤液抽滤酸解Δ矿石HCl附图 :氯代磷酸—钙晶体的制备流程酸解时要控制温度 30℃ - 4 0℃…     

乔治·奥威尔在小说《1984》中所用的语言与政治的关系(英文)

ＧｅｏｒｇｅＯｒｗｅｌｌ (1 90 3 - 1 95 0 ) ,ａｆａｍｏｕｓＢｒｉｔｉｓｈｎｏｖｅｌｉｓｔ,ｉｓｒｅｇａｒｄｅｄａｓｏｎｅｏｆｔｈｅｔｈｒｅｅｆｏｒｅｍｏｓｔｐｏｌｉｔｉｃａｌｗｒｉｔｅｒｓｉｎｔｈｅ 2 0ｔｈｃｅｎｔｕｒｙ.Ｈｉｓｃｌｅａｒ,ｄｉｒｅｃｔ,ａｎｄｐｒｅｃｉｓｅｌｉｎｇｕｉｓｔｉｃｓｔｙｌｅｈｅｌｐｓｔｏａｇｒｅａｔｅｘｔｅｎｔｅｓｔａｂｌｉｓｈｈｉｓｌｉｔｅｒａｒｙｒｅｐｕｔａｔｉｏｎ .Ｆｏｒｈｉｍ ,ｔｈｅｒｅｉｓｎｏｇｅｎｕｉｎｅｎｏｎ - ｐｏｌｉｔｉｃａｌｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ,ａｎ…     

阴离子型簇合物〔(Ph_3P)_2N〕〔FeCo_3(CO)_(12)〕的晶体结构表征

本文合成了簇合物〔（Ｐｈ３Ｐ）２Ｎ〕〔ＦｅＣｏ３（ＣＯ）１２〕并测定了其晶体结构。单晶结构数据如下：Ｍ＝１１０７．３６，单斜晶系，空间群Ｐ２１／ｎ：ａ＝１３．８５７（３），ｂ＝１０．９０６（５），ｃ＝３２．１５５（６），β＝１００．０９（２）°，Ｖ＝４７８４（２）３，ｚ＝４，μ（ＭｏＫα）＝１４．４８ｃｍ－１，Ｄｃ＝１．５３７ｇ／ｃｍ３，Ｆ（０００）＝２２３２。用３０８２个可观测衍射点（Ⅰ＞３．００σ（Ⅰ））对结构进行精修，最终偏离因子Ｒ＝０．１３６，Ｒｗ＝０．１６８。在该簇合物中，ＦｅＣｏ３骨架是一个四面体构型，其中阴离子〔ＦｅＣｏ３（ＣＯ）１２〕－的负电荷集中在簇骨架的Ｆｅ原子上。     

等压计中直接加液法

测定液体的饱和蒸气压的方法有静态法、动态法和气体饱和法。静态法是将被测液体放在一个密封的体系中 ,在不同温度下直接测量其饱和蒸气压 ,在不同外压下直接测量相应的沸点。其实验装置等压计由三根相联的玻璃管ａ、ｂ、ｃ组成 ,ａ管中储存被测液体 ,ｂ和ｃ管也有液体在底部相连 ,当ａ、ｃ管的上部纯粹是待测液体的蒸气 ,ｂ与ｃ管中的液面在同一水平时 ,则表示在ｃ管液面上的蒸气压与加在ｂ管液面上的外压相等 ,此时液体的温度即体系的气液平衡温度 ,亦即沸点 ,如图 1所示。静态法较为灵敏 ,被测液体所吸收和溶解的比该液体具有更大挥发性…     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

圆锥曲线中的切线和弦新探

关于圆锥曲线中的切线 ,中点弦和切点弦问题 ,题目繁多 ,特别是含有字母参数的 ,解决往往使师生既感到困难又十分烦琐。根据自己多年的教学实践 ,现对解决这类问题提出新的探讨。设ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ。定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,用ｘ0 ｘ、ｙ0 ｙ、12 (ｘ0 ｙ ｘｙ0 )、12 (ｘ ｘ0 )、12 (ｙ ｙ0 )分别去代ｆ(ｘ,ｙ)中的ｘ2 、ｙ2 、ｘｙ、ｘ、ｙ,代换后所得的式子记为ｆ1 (ｘ ,ｙ) ,即 :ｆ1 (ｘ ,ｙ) =Ａｘ0 ｘ Ｂｘ0 ｙ ｘｙ02 Ｃｙ0 ｙ Ｄｘ ｘ02 Ｅｙ ｙ02 Ｆ命题 1 :设ｆ(ｘ ,ｙ) =0表示圆锥曲线Ｃ ,如果…     

一类非线性微分方程奇点类型的判定方法

1、引言研究微分方程奇点附近的轨线的拓扑结构 ,首先要判定奇点的类型。本文的判定定理就是用简单的方法去判定这类微分方程的奇点的类型 ,从而减少计算量。给定微分方程组 (又称自治系统 ) :ｄｘｄｔ=Ｐ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｔ=ｑ(ｘ ,ｙ)　其中ｐ(ｘ,ｙ) ,ｑ(ｘ ,ｙ)∈Ｃ0 (Ｄ) ,区域Ｄ Ｒ2 , (1 1 )满足方程 ｐ(ｘ ,ｙ) =0ｑ(ｘ ,ｙ) =0 (1 2 )的解 (ｘ0 ,ｙ0 )就是 (1 1 )的奇点 ,我们知道 ,由特征方程 |Ｊ(ｘ0 ,ｙ0 ) -λＥ|=0 (1 3)的特征根λ1 ,λ2 ,当λ1 ,λ2 ≠ 0时 ,总可判定奇点 (ｘ0 ,ｙ0 )的类型及性质 .如果 :ｐ(ｘ ,ｙ)≡Ｐ…     

"全球金融学会第九届年会"召开

在中国加入ＷＴＯ后的第一年 ,由北京大学光华管理学院承办的 ,第一次在亚洲举办的“全球金融学会第九届年会” ,于 2 0 0 2年 5月 2 7～ 2 8日在北京大学召开。我校经济与管理学院郑长德教授应邀参加了这次会议。全球金融学会 (ＧｌｏｂａｌＦｉｎａｎｃｅＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ ,ＧＦＡ)是一个由全球金融学术界人士发起、组建的非营利性国际学术组织 ,总部设在美国。其宗旨是为全球金融学术界和实业界人士提供一个可以互相交流知识、经验的平台 ,并定期举办学术年会 (ＧｌｏｂａｌＦｉ ｎａｎｃｅＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ,ＧＦＣ)。本次会…