一类非线性微分方程奇点类型的判定方法

1、引言研究微分方程奇点附近的轨线的拓扑结构 ,首先要判定奇点的类型。本文的判定定理就是用简单的方法去判定这类微分方程的奇点的类型 ,从而减少计算量。给定微分方程组 (又称自治系统 ) :ｄｘｄｔ=Ｐ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｔ=ｑ(ｘ ,ｙ)　其中ｐ(ｘ,ｙ) ,ｑ(ｘ ,ｙ)∈Ｃ0 (Ｄ) ,区域Ｄ Ｒ2 , (1 1 )满足方程 ｐ(ｘ ,ｙ) =0ｑ(ｘ ,ｙ) =0 (1 2 )的解 (ｘ0 ,ｙ0 )就是 (1 1 )的奇点 ,我们知道 ,由特征方程 |Ｊ(ｘ0 ,ｙ0 ) -λＥ|=0 (1 3)的特征根λ1 ,λ2 ,当λ1 ,λ2 ≠ 0时 ,总可判定奇点 (ｘ0 ,ｙ0 )的类型及性质 .如果 :ｐ(ｘ ,ｙ)≡Ｐ…     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

一道课本例题结论的推广与应用

如图 :ＡＤ是△ＡＢＣ的外接圆的直径 ,　　求证 :ＡＢ·ＡＣ =ＡＥ·ＡＤ .(九年义务教育初三几何课本Ｐ94例子 )[证明 ]　连ＢＥ ,∵ＡＥ为直径 ,ＡＤ⊥ＢＣ∠ＡＢＣ =∠ＡＤＣ =90°又∠Ｅ =∠Ｃ∴ΔＡＢＣ∽ΔＡＤＣＡＢＡＤ=ＡＥＡＣ即 :ＡＢ·ＡＣ =ＡＥ·ＡＤ　　这道例题提示了三角形的一条重要性质 :三角形两边之积等于第三边上的高与其外接圆直径之积 .对其作进一步探讨 ,还有 :1 .定理的其它证法 :这个定理一般是利用相似三角形加以证明的 .若注意到“三角形两边乘积” ,不难想到用三角形的面积公式证明之[证 ]ＳΔＡＢＣ =12 Ａ…     

巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

数学在解决物理题中的杠杆作用

数学是处理物理问题的重要工具 ,它起着扛杆的作用。在使用杠杆时 ,重要的是选好支点。处理物理问题的支点就是 :物理概念和物理规律 ;数学就是一根刚性的杠杆。凡定量分析物理问题无一不用数学。在解决物理问题时 ,充分发挥数学的杠杆作用 ,不但折射出解决物理问题能力的层次 ,还可以提高物理思维品质 ,增强学习物理的兴趣。例 1 如 1 - 1图 ,三角形ＡＢＣ三边中点分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ ,在三角形中取一点Ｏ ,如果ＤＯ、ＯＥ、ＯＦ三个矢量代表三个力的大小及方向 ,那么这三个力的合力为(Ａ )ＯＡ　　 (Ｂ )ＯＢ　　 (Ｃ )ＯＣ　　 (Ｄ )ＤＯ…     

SUM CONTENTS(2001)

Ｎｏ .1ＴｈｅＲｅｓｅａｒｃｈｆｏｒＲ＆ＤａｎｄＣｏｒｅＣｏｍｐｅｔｅｎｃｅｏｆＣｏｒｐｏｒａｔｉｏｎｓｉｎＣｈｉｎａ ＷＡＮＧＲｏｎｇ　ＷＵＢｏ( 1)………………………………………ＴｈｅＶｉｅｗｏｆｔｈｅＰａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎＥｃｏｎｏｍｙｏｆｔｈｅＰｕｂｌｉｃ ｏｗｎｅｄＳｙｓｔｅｍ :ａＮｅｗＴｈｏｕｇｈｔａｂｏｕｔｔｈｅＲｅｆｏｒｍｏｆＥｃｏｎｏｍｙＳｙｓｔｅｍｉｎＣｈｉｎａ ＬＩＢｉｎ ｙａｎ( 8)………………………………………………………………………………………………Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ…     

函数方程的几种解法

含有未知函数的等式称为函数方程 ,求出未知函数的过程称为解函数方程。下面通过例子介绍一些解函数方程的方法。1 .利用特定值法当所给的函数方程中含有两个以上不同的变量时 ,可以设法对这些变量交替用特定值代入 ,然后再设法求出未知函数。例 1 :若对于任意整式ｇ(ｘ)及ｆ(ｘ)总满足条件ｇ[ｆ(ｘ) ] =ｆ[ｇ(ｘ) ] ,求ｆ(ｘ)。解 :因为ｇ(ｘ)、ｆ(ｘ)都是整式 ,特别地对任意ｇ(ｘ) =0 ,ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ[ｆ(ｘ) ]也成立 ,所以ｆ(0 ) =0 ,因此可设ｆ(ｘ) =ｘ·ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ)是整式。当ｇ(ｘ)取ｇ(ｘ)=ｘ 1时 ,ｆ[ｇ(ｘ) ] =ｇ[ｆ(ｘ) ]也成…     

圆幂定理及其应用

九年义务制初中几何教材中有相交弦定理、割线定理和切割线定理 ,这三条与圆有关的比例线段定理 ,我们通常称为圆幂定理 .圆幂定理 ,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理 .两条相交直线与圆的位置关系 ,可用下图 1-4表示 .交点在圆内 :相交弦定理 ;交点在圆外 :双割线定理、切割线定理、切线长定理 .圆幂定理 ,是反映两条直线与圆有关的比例线段定理 ,它不仅在证明比例式中有着重要的应用 ,而且在其它几何证明题中也经常应用到 .1　证比例线段例 1　如图 5 ,ＡＦ为⊙Ｏ的直径 ,ＡＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ ,垂足为Ｅ .…     

解析几何中的解题技巧

解析几何是中学数学的重要内容之一 ,题型多 ,变化广 ,用传统解法虽然容易入手 ,但相关运算比较繁琐 ,如果能运用其它知识和一些技巧变换 ,往往能达到事半功倍的效果。下文从如何运用解析几何本身的解题技巧、平面几何知识和充分发掘隐含条件等三个方面来阐述。一、运用解析几何本身的解题技巧简化解题过程1 .巧用定义解题例 1　设Ｐ是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )上除顶点外的任意一点 ,Ｆ1 ,Ｆ2 是焦点 ,∠ＰＦ1 Ｆ2 =α ,∠ＰＦ2 Ｆ1 =β .求证 :ｔｇα2 ｃｔｇβ2 =ｃ -ａｃ ａ　　 ,　　ｃ2 =ａ2 ｂ2 。分析 :注意到 α2…     

函数值域的求法及其策略

求函数的值域是一个比较复杂的问题 ,也是很重要的问题 ,因为它和求函数的最值问题紧密相关 ,同时也是高考命题的热点之一。因此 ,掌握函数值域的求法是至关重要的。一、反函数法。例 1:求函数ｙ =2ｘ -3ｘ 1的值域。解 :由ｙ =2ｘ -3ｘ 1得ｘ =ｙ 32 -ｙ,∴ｙ≠ 2故原函数的值域为{ｙ|ｙ∈Ｒ且ｙ≠ 2 }小结 :分子、分母中只有一次项的可用反函数法。另解 :此类题目也可采用“分子常数法。”解 :ｙ =2ｘ -3ｘ 1=2 (ｘ 1) -5ｘ 1=2 -5ｘ 1≠ 2二、判别式法。例 2 :求函数ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ 1的值域。解 :由ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ…     

△y = k△x在物理中的应用

在物理习题中 ,有类问题当某个物理量发生变化时 ,引起其他物理量的变化 ,其中属正比例关系的 ,应用函数 ,△ｙ=ｋ△ｘ求解较为方便。一、数学模型当ｙ与ｘ成正比时 ,即ｙ=ｋｘ ,则可证明△ｙ=ｋ△ｘ。即ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ。有两种证明思路 ,可结合学生的实际选用 :1、利用公式 :令ｙ1 =ｋｘ1 ,ｙ2 =ｋｘ2 ,则△ｙ=ｙ2-ｙ1 =ｋ(ｘ2 -ｘ1 ) =ｋ△ｘ。2、利用图象 :如图 1所示 ,ｋ=ｙ/ｘ=△ｙ/△ｘ ,则△ｙ =ｋ△ｘ。图 1二、物理应用1、查理定律一定质量的理想气体 ,在体积不变的情况下 ,它的压强跟热力学温度成正比。即ｐ/Ｔ=恒量。根据数…     

General Contents of Journal of Shihezi University(Philosophy and Social Science) 2001

【Ｓｐｅｃｉａｌａｐｐｏｉｎｔｅｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ】ＳｏｍｅＩｄｅａｓＡｂｏｕｔｔｈｅ”ＴｅｎｔｈＦｉｖｅ Ｙｅａｒ”ＰｌａｎｏｆＰｈｉｌｏｓｏｐｈｙａｎｄＳｏｃｉａｌＳｃｉｅｎｃｅｉｎｏｕｒＲｅｇｉｏｎＧＵＯＷｕ ｂｉｎ　ＷＵＱｉａｎｇ( 1 ) :0 1…………………………………………ＬｏｏｋｉｎｇＢａｃｋａｎｄＬｏｏｋｉｎｇＦｏｒｗａｒｄｆｏｒＸｉｎｊｉａｎｇＢＩＮＧＴＵＡＮＥｄｕｃａｔｉｏｎＣａｕｓｅＧＡＯＪｉ ｈｏｎｇ;ＺＨＥＮＧＬｉ ｆｅｎｇ( 1 ) :0 6…………………………………………………     

非齐次线性系统与殆线性系统的渐近等价关系

讨论了非齐次线性系统ｄｘｄｔ＝ Ａ（ｔ）ｘ＋ ｆ（ｔ）与殆线性系统ｄｙｄｔ＝ Ａ（ｘ）ｙ＋ ｆ（ｔ）＋ ｇ（ｔ,ｙ）之间的渐近等价关系,它包含了文［１］、［２］、［３］之间的渐近等价关系,包含了文［１］、［２］、［３］中的定理为其特例。     

一类哈密顿系统被对称扰动后极限环的分布情况

一、引言文献 [1 ]中提到系统 (1 .1 )的类型 ,但没有进行深入的研究 ,所以本文对系统 (1 .1 )进行一些探讨 .ｄｘｄｔ=ｙ(1 ｘ2 -ａｙ2 ) εｘ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)ｄｘｄｔ=ｘ(1 ｃｘ2 ｙ2 ) εｙ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)(1 .1 )其中 :ａ >ｃ >0 ,ａｃ >1 ,0 <ε 1 ,ｍ、ｎ和λ为实参数 .该系统是带有对称扰动的Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 ,我们的目的是研究极限环分布情况及相图 .极限环的分布 ,是由于同宿或异宿轨线受扰动而变化后产生的 ,随着变量参数值的变化 ,我们发现许多有趣的各种各样的极限环的分布情况 ,用判定函数计算后 ,我…     

矩阵乘法教学中的几点思考

一、矩阵乘法的定义与实际意义在传统教材中 ,通常作出定义 1 :设Ａ =(ａｉｊ)是一个ｍ×ｓ矩阵 ,Ｂ =(ｂｉｊ) ｓ×ｎ是一个ｓ×ｎ矩阵 ,作ｍ×ｎ矩阵Ｃ =(ｃｉｊ) ｍ×ｎ,其中ｃｉｊ=∑ｓｋ =1 ａｉｋｂｋｊ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｊ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则称矩阵Ｃ为矩阵Ａ与Ｂ的乘积 ,记为 :Ｃ =ＡＢ即Ｃ =∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋｎ本定义对初学者而言 ,比较繁…     

复数学习中易与实数混淆的几个问题

实数集是复数集的真子集 ,因此 ,复数所具有的性质实数都具有 ,但实数所具有的性质复数不一定具备。由于教材尚无对此进行全面、系统的分析比较 ,学生在学习复数中出现了不少错误 ,为此 ,笔者根据学生出错的实际情形 ,总结了复数与实数之间极易混淆的七个问题 ,通过正误辨析 ,以警示学生甄别谬误 ,澄清认识。一、ｘ2 ≥ 0 ;ｘ21 +ｘ22 =0 ｘ1 =ｘ2 =0当ｘ∈Ｒ时成立 ,当ｘ∈Ｃ时 ,不一定成立例 1、在复数范围内解方程 :　　ｘ4 +1ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =4错解 :由原方程可得 :(ｘ2 -1ｘ2 ) 2 +(ｘ -1ｘ) 2 =0 ,则ｘ2 -1ｘ2 =0ｘ-1ｘ =0　　即 ｘ …     

初中几何中的运动思想

自从十七世纪牛顿和莱布尼兹创立微积分以来 ,数学取得了突飞猛进的发展 ,这种发展得归功于一种思想———运动的思想。然而在我们初中几何里却随处可以捕捉到这种思想的影图　 1　　　　　　　图　 2子。下面从一个典型的范例开始。例 1:已知 ;四边形ＡＢＣＤ是矩形 ,Ｐ是平面ＡＢＣＤ上任意一点。求证 :ＰＡ2 ＰＣ2 =ＰＢ2 ＰＤ2分析 :条件中仅给出一个矩形和一个点 ,且是一个可以放在平面ＡＢＣＤ的任意一个位置上的点 ,要得出结论 ,确定点Ｐ的位置尤为重要。我们不图　 3　　　　　　　图　 4妨先将动点Ｐ关于矩形ＡＢＣＤ内 ,一同来…     

有关等价无穷小的几个定理

在一般的《高等数学》教材中 ,用等价无穷小求极限时 ,仅举几例加以说明 ,没有详细讨论研究。这里给出几个定理 :力图探讨等价无穷小在求极限中的广泛应用。实践证明在求极限教学中具有一定的作用。定理 1　 (等价无穷小代换定理 )设α(ｘ) ,α′(ｘ) ,β(ｘ) ,β′(ｘ)是自变量ｘ在同一变化过程中的无穷小量 ,且α(ｘ)～α′(ｘ) ,β(ｘ)～β′(ｘ) ,ｌｉｍα′(ｘ)β′(ｘ) =Ａ ,(Ａ是常数 ) ,则ｌｉｍα(ｘ)β(ｘ) =ｌｉｍα′(ｘ)β′(ｘ) 。证明　ｌｉｍα(ｘ)β(ｘ) =ｌｉｍ( α(ｘ)α′(ｘ) ·α′(ｘ)β′(ｘ) ·β′(ｘ)β(ｘ) )=…     

解析几何中参数范围的求法

在解析几何教学中 ,面对求参数范围或与参数有关的问题 ,许多学生往往感到心中无数 ,甚至不知从何入手 ;在高三复习阶段有必要对这类问题的解法 ,进行系统的专门的教学 ,使学生心中有数 ,学会解决这类问题的思考途径。一、应用图象求参数的范围解析几何中 ,有一些含参数的问题 ,参数有直接或间接的几何意义 ,可利用其几何意义直接求出。例 1、已知Ａ、Ｂ两点的坐标分别为 ( - 1 ,1 )、( 1 ,2 ) ,直线Ｌ的方程为ｍｘ ｙ 1 =0 ,直线Ｌ与线段ＡＢ有公共点 ,求ｍ的取值范围。解 :直线Ｌ的斜率为ｋ =-ｍ ,过定点Ｍ( 0 ,- 1 ) ,直线ＭＡ的斜率…