求自然数方幂和的一个简单公式

求自然数方幂和有许多方法本文给出求自然数方幂和的又一公式,应用这个公式可以比较简单地求出自然数的任意次方幂的和。此公式具有简洁易记的好用的优点。 1 xe~x/(e~x-1)的展开式令f(x)=xe~x/(e~x-1),f(x)在x=0时为0/0的不定式,但有:所以我们定义f(0)=1,故f(x)可在x=0附近展开,由数学分析,我们有下面的展开式 xe~x/(e~x-1)=B_0+B_1x+B_2x~2/1·2+B_3x~3/1·2·3+……(1)其中B_0,B_1,B_2,B_3,……为待定系数。由级数相乘的理论,用下面级数 e~x-1=x+x~2/1·2+x~3/1·2·3+……(2)乘(1)的两边,左边的乘积等于     

"1/a+1/b=1/c"型问题的证法初探

教学中经常会遇到证明形如“1/a+1/b=1/c”的类型的题目。1 等价变换,对结论进行逆向思考 对形如“1/a+1/b=1/c”的命题的证明,常规的处理方法,是把结论做等价变换,如把结论变形为“c/a+c/b=1”的形式,再利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质来解决。     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

二阶串联谐振电路通频带的简捷测量、计算方法

在中频范围内,二阶串联谐振电路通频带的常规测、算方法是利用LC串联电路频率特性曲线,描点测△f=f2-f1,或者由给定电路参数,建立二阶方程,算出f2和f1,求△f,测量和计算都相当麻烦。本文从通频带定义出发,导出了测量和计算通频带的简捷公式,即△f=f_0/Q，和△f=R/2πL。用前式测量,后式直接代参数计算,非常简便。且简捷方法与常规方法比较表明,前者测量误差小于后者。     

一个递推数列的通项公式及应用

给出了递推数列an+ 1 =f(n)an,(f(n) ≠ 0 )的通项公式 ,并举例说明了它的应用。     

关于爱多士猜想4/n=1/x+1/y+1/z

文献[3]指出,不定方程 4/n =1/x+1/y+1/z除了n≡1 ,121,169,289,361,529(mod840)外,对其余的所有正整数n都可解。本文给出了上述不定方程的解满足的条件,借助这一条件,得到了文献[3]中没有解决的n≡1,121,169,289,361,529(mod840)中每一种情形的两大类正整数解的具体表达式。     

关于不定方程1/x+1/y=b/a的几个结果

给出了不定方程1/x+1/y=b/a有解的充要条件,确定了解的构造和在特殊条件下解的个数。     

论数列{1+1/2+1/3+…+1/n}发散性的证明

一、问题的提出 数列的歌西收敛准则,是数学分析基础理论重要支柱之一。尤应注意数列发散性的证明。 很多教材都喜欢引用调和数列y_n=1+1/2+1/3+…+1/n作为典型的发散性例子。但在证法上很值得深入研究一番。     

X_n=PX_(n-1)+nQ+R型矩阵的通项公式

在沈文选教授《矩阵的初等应用》一书中,给出了关于根据方阵的递推关系求通项公式的方法,将此方法运用到m×k阶矩阵中,并且结合数列中的根据递推关系求通项的方法,得出了以下重要的结论:根据Xn=PXn-1型关系求Xn通项公式;如何将Xn=PXn-1+nQ+R型转化为Xn=PXn-1型,并给出这两种类型求通项公式的方法,并举例说明.     

一类非线性递推数列的通项公式及性质

本文解决一类递推数列x_(n+1)=f(x_n)的通项公式,其中f(x)=ax~2+bx-2/a-b/2a+b~2/4a,进而研究其当初始值变化时的若干性质。     

含有中心二项式系数的“趣味”级数

修饰语“趣味”用在这里,其专门含意解释如下:一个级数叫做“趣味”时,对于它的n次项有一个简单明确的公式,并且它的和能够用已知的常数来表示。于是 1+1/2+1/4+……+1/2~n+……=2; 1-1/2+1/3-1/4+……+((-1)~(n+1))/n+………=log2; 1+1/16+1/81+1/256+……+1/n~4+……=π~4/90是常见的“趣味”级数的例子。     

函数f(X)在区间[a,b]上的三角函数展开式及其特例

一、f(x)在[a,b]上的三角展开式及其特例 我们知道,在[-π,π]上满足收敛定理条件(如Dini定理的“逐段光滑”)的函数 f(x),由系数a_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (1)b_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (2)确定的三角级数 a_0/2+sum from n=1 to∞(a_n cosnx+b_n sinnx) (3)     

“劳动消耗转化”论是对现行分配体制的一项突破

所谓劳动消耗转化论,就是根据马克思关于社会产品价值一个著名的公式(W=C+V+M)的原理,把C+V这两部分劳动消耗事先降低到一个最低水平,并在W中作了各项扣除,科学地把C+V绝对控制起来,在保证国民收入和国家财政收入超速增长的情况下,让C和v这两部分消耗互相转化,以最大限度地调动人的主观积极性。这一方法,不仅有利于克服我     

比内公式推广及斐波那契数列求和

斐波那契数列a,b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，…的通项公式为Un=a/√r[（（1＋√5）/2）^（n-2）-（（1-√5）/2^（n-2）]＋b/√5[（1＋√5）/2^（n-1）-（（1-√5）/2^（n-1）]，前n项和公式为Sn=Un＋2-U2=Un＋2b前10n项和公式为S10n=11（U7＋U17＋…＋U10（n-1）＋7），这是研究法国数学家比内的公式后得到的推广。     

湖南沅江话“持续/进行体”的表达形式

对沅江话中五种"持续/进行体"的表达形式进行描写和分析,发现沅江话中主要通过在动词后加助词"着/哒/起"来表示各种持续或进行的意义,缺少普通话中于动词前加副词"正在/在"表示进行的方式。这五种形式及其具体意义分别是:表示暂且/短暂持续的"V下着、V哒(O)着";表示事物存在状态或行为伴随状态的持续的"一V起、V1起(O)V2";表示动作行为或存在状态或行为伴随状态的持续的"V哒O、V1哒(O)V2";表示动态行为的持续的"V餐V餐…、V餐(O)";表示动态行为的持续与进行的"在咯里/哦里+V"。     

高等数学中两个极限公式的教学

高等数学中的limx→0sinx/=1与limx→∞（1+1/x）x=e是微积分中两个重要极限公式。通过考察两个极限公式的实际应用可见,它们各有两个本质特征。学生如果能正确理解和掌握它们,某些函数的极限求证,将变得十分简便。     

以质数p=4n+1为模的二次同余式的解法

以下设 p 是大于2的质数,a 是 p 的平方剩余,b 是 p 的平方非剩余。现在我们要解x~2≡a(mod p)(A)这个二次同余式,这就是说,要找出一个求解公式。若 p=4n+3,则已知x≡±a~(n+1)(mod p)是(A)式的解。若 p=8m+5,则(A)的解式也不难求出。但时于 p=8m+1,正象在他的书第四章第35节内所说的,一直还“没有现成的公式。”华罗庚先生在他的“数论导引”(科学出版社1957年出版)一书内也曾提到这个问题。当他     

利用导函数极限确定曲线渐近线的方法

设y=f(x)是定义在[α∞]上的一个连续函数,若曲线y=f(x)有不垂直于x轴的渐近线y=kx+b,则 反之,如果这两个极限都存在,则显然y=kx+b就是该曲线的渐近线。这是一般数学分析课本给出的方法。这个方法使用起来方便,证明过程也很简单。但笔者见到的所有课本,都是在讲导数的应用时提出该方法的,可惜这里却没有用上导致。我们曾用导数来确定函数的单调性,增减性、凹凸区间,却没有用之来确定渐近线。好象在确定渐近线时导数无能为     

小麦-簇毛麦端体附加系中6V端体的细胞遗传学行为及其在Moisson 6MV/6B中的传递

簇毛麦6V染色体上携有抗白粉病基因Pm21.本研究利用抗白粉病小麦-簇毛麦单端体和双端体附加系(2n=42+1t和2n=42+2t)为材料,通过自交,观察后代植株6V端体出现频率,以评价外源染色体在小麦背景中的遗传平衡程度及稳定性,为利用培育小麦-簇毛麦导入系提供理论依据.通过对自交群体植株根尖细胞染色体数观察,发现在双端体附加系(2n=42+2t)自交群体(F2)中,2n=42+2t,2n=42+1t,2n=42的出现频率分别为51.92%,40.38%和7.7%;在单端体附加系(2n=42+1t)的F2群体中,2n=42+2t,2n=42+1t,2n=42的出现频率分别为1.85%,17.59%和80.56%.χ2检验表明(χ20.01=0.000),两自交群体问6V端体传递能力存在显著差异,6V端体的传递能力与亲本携带的端体数密切相关,双端体附加系在减数分裂时主要形成n+t配子,而单端体附加系则形成n和n+t两种配子,n+t配子参与受精的竞争能力主要取决于6V端体的遗传平衡程度,单端体附加系自交群体中的6V端体出现频率较低.这表明6V端体可能携有较多的不利基因导致n+t配子竞争能力较差.小麦-簇毛麦6V双端体附加系Pana(2n=42+2t)6VS在Moisaon 6MV/6B中通过雌雄配子传递频率研究发现,6VS通过雌配子的传递频率(33.33%)远高于通过雄配子的传递频率(4.87%).这也与其抗病性鉴定结果一致.此外,还发现以Pana(2n=42+21)为母本获得了小麦-偏凸山羊草-簇毛麦三属杂种,而以Pana(2n=42+2t)为父本却未能获得小麦-偏凸山羊草-簇毛麦三属杂种,暗示Pana(2n=42+2t)附加端体可能对花粉育性有一定不利影响.     

怎样打开平面解几三个公式中的绝对值符号

在平面解析几何中,含绝对值符号的公式有;点到直线距离公式;二直线交角公式和三点围成的三角形面积公式。本文拟讨论根据解题需要,怎样去掉绝对值符号。 一、点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式;d=|Ax_0+By_0+C|/(A~2+B~2)~(1/2)