完全勾股数组的求法

研究完全勾股数组得到求勾股数组的方法,同时得到结论：勾股数组有无数多组,素勾股数组有无数多组,从而得到不定方程x2＋y2=z2有无数多组没有公约数的正整数解。利用这个结论可以说明不定方程X2＋Y2=1在第一象限内有无数多组不同的有理点（X,Y）。     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

关于丢番图方程x2＋（x＋p）2=z2

从两个最基本的不定方程x2＋y2=z2和u2-2v2=p（其中p为奇素数）以及它们的相关定理出发,给出了不定方程x2＋（x＋p）2=z2的正整数解的通项公式.     

关于爱多士猜想4/n=1/x+1/y+1/z

文献[3]指出,不定方程 4/n =1/x+1/y+1/z除了n≡1 ,121,169,289,361,529(mod840)外,对其余的所有正整数n都可解。本文给出了上述不定方程的解满足的条件,借助这一条件,得到了文献[3]中没有解决的n≡1,121,169,289,361,529(mod840)中每一种情形的两大类正整数解的具体表达式。     

关于三角数与多角数

对于正整数m、n(n≥ 3 ) ,设Sm(n)是第m个n的角数 .该文证明了 :当n >6且n -2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy(3 )无正整数解 (x,y) ;当n >6,2 n且n -2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解 (x ,y) .     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

关于丢番图方程a^x＋b^y=2^z

对给定的正整数 a,b,我们证明了方程 a~x+b~y=2~x 除开3~x+5~y=Z~z 仅有正整数解(x、y,z)=(1,1,3) ,(3,1,6) ,(1. 3,7) 和3~x+13~y=2~z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,4) ,(5,1,8) 外,最多只有一组正整数解.从而更正了 Vchiyama 获得的3~x+13~z=2~y 的结果。     

形如1＋p^2 （x（x＋1））/2的平方数

设p是素数,fp（x）=1＋p2x（x＋1）/2.该文运用二元二次Diophantine方程的性质讨论形如fp（x）的平方数,其中x是正整数.证明了：对于任何素数p,都存在无穷多个正整数x可使fp（x）是平方数.     

关于联立Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设D是无平方因子正整数,证明了当D是偶数时,如果D没有适合p≡1(mod8)的素因数p,则方程组x2-2y2=1和y2-Dz2=4仅有整数解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

关于指数Diophantine方程（x^m-1）／（x-1）=y^5

该文证明了：方程（x^m-1）／（x-1）=y^2．x〉1。y〉1，m〉2，没有正整数解（x，y，m）可使m=4（mod5）且m是平方数．     

与正整数有关的两个不等式

《数学通讯》1992年第9期“问题征解” 的第99题是:设n≥1,证明不定方程 ∑sum from k=1 to n a_k~3=(∑sum from k=1 to n a_k)仅有一组互不相同的正整数解{1,2,…,n} 余红兵利用数学归纳法得到了一个更强的结论: 定理1.对任意互不相同的正整数a_1,a_2,…,a_n,有不等式     

关于Diophantine方程x3-8=py2

在p是奇素数的假设下,证明了如果p=12r2 1,其中r是偶数,则方程x3-8=py2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

关于Diophantine方程x3-8=3py2

设p是奇素数.该文证明了:如果p=12s2 1,其中s是奇数,则方程x3-8=3py2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

正整数的连续奇偶拆分

正整数n的一个拆分是指将n表示为一个或多个正整数的无序和。n的不同拆分方式数称为n的拆分数。给出了一个正整数n能拆分成连续奇数和连续偶数之和的充要条件,并求出了这两种拆分的拆分数。将其结果用于讨论不定方程x2?y2=n,给出了判断该方程解的存在性条件,以及解的个数的确定。证明了如果n能表示成连续奇数和连续偶数之和,则表示法唯一。     

丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

关于商高数的Terai猜想

设(a,b,c)是一个本原商高数三元组,且2|a.如果b■1(mod 16),b2 1=2c,b,c都是奇素数,则方程x2 by=cz只有一个正整数解(x,y,z)=(a,2,2).     

关于不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2的非平凡解

给出了不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2有正整数解的一个充分必要条件以及当系数(a1,a2,a3)满足条件(a1,a2,a3)＝1且a1a2+1∈N2或a2-a1＝1时求该不定方程组的非平凡正整数解的一个方法.该方法可以在计算机上用"迭代"算法实现.     

关于不定方程x~2+16=y~9的解

本文利用代数数论的方法,证明了不定方程x2+16=y9无整数解.     

联立Pell方程组x2-Dy2=-1和z2-(D+4)y2=-1

设D是正奇数.该文证明了:如果D≡1(mod8),则方程组x2-Dy2=-1和z2-(D 4)y2=-1没有整数解.