IT杯数学竞赛试题解题探讨

已知:在△ABC中,AD、BE分别是∠A、∠B的平分线,∠ABC=80°,∠C=40° 求证:AB+BD=AE+BE 证法(1):作C点关于AD的对称点F,则F必在AB的延长线上,连结BF,DF,显然BE=CE,由△ADF≌△ADC得:AF=AC=AE+CE=AE+BE∵ ∠F=∠C=∠BDF=40°∴ BF=BD,故:AB+BD=AE+BE     

一个平几题引起的一点联想

笔者在探讨一个平面几何问题时,发现了一个有趣的事实,它揭示了交比与简比的内在联系。 问题 如图1,已知BC＇∥CB＇,BD＇∥DB＇,求证:CD＇∥DC＇。(证明从略) 引伸 B、C、D和D＇、C＇、B＇分别在∠A的两边(或反向延长线)上。如果BC＇∥CB＇,BD＇∥DB＇,那么(ABCD)=(D＇C＇B＇)。     

一道课本例题结论的推广与应用

如图 :ＡＤ是△ＡＢＣ的外接圆的直径 ,　　求证 :ＡＢ·ＡＣ =ＡＥ·ＡＤ .(九年义务教育初三几何课本Ｐ94例子 )[证明 ]　连ＢＥ ,∵ＡＥ为直径 ,ＡＤ⊥ＢＣ∠ＡＢＣ =∠ＡＤＣ =90°又∠Ｅ =∠Ｃ∴ΔＡＢＣ∽ΔＡＤＣＡＢＡＤ=ＡＥＡＣ即 :ＡＢ·ＡＣ =ＡＥ·ＡＤ　　这道例题提示了三角形的一条重要性质 :三角形两边之积等于第三边上的高与其外接圆直径之积 .对其作进一步探讨 ,还有 :1 .定理的其它证法 :这个定理一般是利用相似三角形加以证明的 .若注意到“三角形两边乘积” ,不难想到用三角形的面积公式证明之[证 ]ＳΔＡＢＣ =12 Ａ…     

从Menelaus定理所想到的一类比例问题的若干证法

大家知道,Menelaus定理为:若D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、AC或其延长线上一点,则D、E、F三点共线的充要条件为,式中线段均为有向线段,若两边取绝对值,则有AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,式中线段均为线段的长度。 我们考虑命题:已知:D、E、F分别是ΔABC三边AB、BC、CA或其延长线上一点,且D、E、F三点共线,求证:AD/DB·BE/EC·CF/FA=1,它有如下两类证法:     

浅淡运用联想,发展思维

几何这门学科，其主要目的是为了培养人的逻辑思维能力。可要学好几何，发展人的思维，并非一件容易的事。下面举例说明如何运用联想来发展思维：1横向联想，在一题多解中发展思维横向联想指的是在不改变条件和结论的情况下从不同的角度求得解答的联想。例：如图1，已知：凸＊＊c中，点D是BC边上的中点，点E是AD的中点，BE的延长线交AC于F。求证：FC＝2AF。联想1：本题在三角形中已知有中点，自然联想到过中点添加平行线，应用平行线等分线段定理及推论，三角形中位线定理等知识来解决。证：（以下都是简证）过点D作DGI【BF交AC于…     

我和你 2008年北京奥运主题曲

立4 B尸产-、一1你1一一3一甲、nJ我和、bu and，25兀几-同住地球市寸。nle. 2 2弋3心连From one 5一心，V人，rld。(女唱转1=B) We are family. 1一京。jing一0}一} 3北2在5·八石2相3、3工5为梦Travel 1 .1想. dreamA厂才2弋3干里thousand 6考丁。miles .Meeting in Bei 5的3     

逻辑:两句真话

^、日、e、o、〔、「、。参加T一次比赛.结果的名次(其中没有并列名次)排列情况如下: 1)E得第二名或第三名。2)c没有比E高四个名次。3)A比B低。4)B不比e低两个名次。5)B不是第一名。6)0没有比E低三个名次。7)A不比F高六个名次。上述说明只有两句是真实的.是哪两句呢?找出他们的     

美国移民条件

美国以每年100多万的数量吸收来自世界各国的移民,历来被人们看成是移民国家。美国移民签证类型分为:1、美国亲属移民(IR1、F1、F2A、F2B、F3、F4)2、美国公民配偶移民(CR1)3、美国公民长期居住中国,申请中国配偶移民(CR1)4、美国未婚夫妻签证(K1)5、美国杰出人才职业移民,包括     

由一道课本习题引出的解题策略及应用

现行高中数学《代数》下册第 1 2 5页有这样一道习题 :有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 3 7,第二个数与第三个数的和是 3 6,求这四个数。解 :设所求的四个数为 :ａ-ｄ ,ａ,ａ+ｂ,(ａ+ｄ) 2ａ则 (ａ-ｄ) +(ａ +ｄ) 2ａ =3 7ａ(ａ +ｄ) =3 6　　解得 :ａ1 =1 6ｄ1 =4或ａ2 =814ｄ2 =-92∴所求的四个数为 1 2、1 6、2 0、2 5或994,814,634,494。此题看似平常 ,实则内涵丰富 ,是一道不可多得的好题。笔者发现 ,凡对于一些题设中直接或间接出现形如ａ+ｃ =2ｂ(即ａ、ｂ、ｃ成等差数列 )的数…     

一道几何题的巧解与多解

题目如图：ABCD是正方形,O是对角钱的交点,F是OA上任意一点,且DCFH为矩形,求证：OH＝OG。分析：这是一道抽掉了部分线段的几何习题,由于正方形具有轴对称,中心对称以及特殊四边形等性质,灵活应用这些性质,可使本题有多种证明方法。证法1作矩形OIHL和矩形OJCK。由OLFK为正方形,则由得：OH＝OC．证法2连结册,不难证明OCH。凸册以或凸ODH。rtOAC）…OH＝OC．证法3分别延长HO、CO交朋、BC于J、I,则由Rt凸CDH。Rt凸JAC。RtthIBJ。RtthHC,…四边形HCJI为正方形,…OH＝OC．证法4延长CF交BC于I,则O…     

谈谈几何题的一题多解在培养学生思维能力方面的作用

中学数学教学除了向学生传授数学知识之外，还有着培养学生数学能力的任务。学生的能力有运算能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及解决实际问题的能力等，但其核心是思维能力。在中学几何教学中，特别是几何复习课中若能精心选取例题，进行一题多解的教学，对学生思维能力的培养起着很大的作用。今举两例，以作阐述。例1如图1—1，梯形ABCD中，AB∥CD，以AC，AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F。求证：EF=BF．思考方法一：构造三角形，利用全等三角形性质证。证法1:如图1—2，过F作FG∥DA交AB于G。则可证△GBF≌…     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

矩阵方程AX=B的解法

1引言设称AX=B……（I）为矩阵线性方程组，其中A为系数阵，X为变量阵，B为常量降。本文在解线性方程组理论的基础上，给出矩阵线性方程组AX—B之解法。2定理及其证明定理1矩阵线性方程组AX—B有解的充分必要条件是rank（A，B）一rank（A）。证：令x1，x2，…x。为X的列向量，其中XP=而B的列向量为因为AX—B所以即有这实际上就是常见的线性方程组，根据线性方程组理论可知，有解的充分必要条件是，从而rA）。证毕定理2设矩阵线性方程组AX—B……（！）中rank（A）一r。将矩阵【A，B」进行一系列初等行变换而得到矩阵1＿二卜其中…     

“倒是”转折句的句法分析

“倒是”转折句是由“倒是＋S”组成的用来表示转折意义的句子，从微观的角度看，“倒是”是连词，S既可以由NP＋VP组成，也可以由VP1＋VP2组成。从宏观的角度看，“倒是”转折句语义背景下的句法模式有繁式和简式两种：繁式由“情形A＋推出情形B＋原因C＋推出情形未出现D＋另一种不同情形E”组成；简式由繁式“A＋B＋C＋D＋E”省略其中的一至三项形成。“倒是”的句法作用有三：1．连结复句中的分；2．连结句群中的句子；3．连结段落。     

不均匀固定梁应力与应变问题的有限元数值解法

一问题两端固定的梁长l,中间段的刚度为2E,受均布载荷f;两端的刚度为E,不受载荷,求该梁的应力与应变分布。由弹性力学的最小势能原理及变分计算得到梁的平衡方程: (d~4ω/dx~4)=f/2E x∈[1/4,3l/4] d~4ω/dx~4=0 x∈[0,1/4]及[3l/4,l] dω/dx=0,ω=0 x=0,x=l。二、解法由变分原理,该问题的泛函为     

一类特殊数列性质、作用的探索

本文研究了满足条件“Aan + 1=Ban+CDan2 +E”的一类特殊数列 {an}在特定条件下递推公式的求法 ,得到了两个既重要且又十分美妙和谐的结论 :在上述的数列中 ,若参数A、B、C、D、E满足条件“A、B、C、D、E∈Z ,ABCD≠ 0 ,A >0 ,且A2 =B2 -C2 D” ,则该数列一定是一个二阶线性递归数列 ,或更特殊一些 ,是一个周期数列。即该数列 {an}一定满足an + 2 =2BAan + 1-an,或an + 2 =an。我们将文中 [1 ]中的结论作了进一步的推广 ,文 [1 ]中的问题成了本文结论的一个特例。     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

增长曲线模型非齐次线性估计的可容许性

讨论增长曲线模型Y =X1BX2 +ε中回归矩阵B的函数C1BC2 的估计L1YL2 +A ,在矩阵损失 (LT2 L1)Y +A - (ST2 XT2 S1X1)B (LT2 L1)Y +A - (ST2 XT2 S1X1)B T 下 ,我们得到了非齐次线性估计L1YL2 +A在非齐次线性估计类Г ={L1YL2 +A|L1:t×p ,L2 ;n×n ,A :t×s均为已知实阵 }中可容许的充要条件 :L1YL2在Г0 ={L1YL2 |L1:t×p ,L2 :n×s均为已知实阵 }中容许且当LT2 XT2 L1X1=ST2 XT2 S1X1时有A =0。     

山东高校行政管理与教学科研人员人格因素差异分析

以《卡特尔十六人格测验》为工具对1120名山东高校行政管理人员和教学科研人员进行了测查发现:教学科研人员年轻和年长的在因子G、Q2、Q3、Y3、Y4上存在差异;从事行政管理的男女在因子Q1、Y4上,年轻和年长的在因子Q2上存在差异;行政管理人员与教学科研人员在因子A、C、E、F、H、M、X2、O、Q2和Y4上存在差异,男性在因子A、F、H、M、Q2、X2和X3上存在差异;女性在因子E、H和Y4上存在差异;较年轻的在因子X4、Q1、Y3上存在差异;年龄较大之间的差异与所在群体之间的差异完全相同。据此,优化人格品质针对不同人群应采取不同的对策。     

有限维与无限维线性空间某些性质的差别

本文说明有限维线性空间中有些性质在无限维线性空间中是不成立的,如在教学中注意这些问题,是很有益处的.(本文符号采用I)性质1 设W是V的真子空间,在有限维线性空间中,显然W的维数不能等于V的维数,即维V≠维W.但在无限维线性空间中却有这情况存在.例1.设F[x]是数域F上无限维线性空间.F[x]的真子空间:W={sum from i=0 to n(a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F},这里有维W=维F(X),且W同构于F(X).性质2 在有限维线性中间中,设V_1,V_2是V的两个真子空间,有结论:维V_1+维V_2=维(V_1+V_2)的充分必要条件是V_1∩V_2={0}.但在无限维线性空间中,却有情形,维V_1+V_2=维V,有V_1∩V_2≠{0}.例2 F[x]的真子空间:V_1=xF[x]={xf(x)|f(x)∈F[x]},{sum from i=0 (a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F}于是维V_1十维V_2=维F[x],但V_1∩V_2≠{0}下面着重说明一下,有限维线性空间有:性质3 设V是n维线性空间.A是V中任一线性变换,则下列命题等价:(1)A是可逆变换;(2)若Aα=Aβ,则α=β;(3)A~(-1)(0)={0},即A的核由一个零向量组成;