某些解析函数的星形半径

设f(z)=((α γ)/z~γCintegral from n=1 to z(f(t)~(t(γ-1)dt)))~(1/a)∈S*(ρ),α≥0,γ≥0,1>ρ≥0。本文找到园盘,使f(z)在该圆盘内是l(0≤l<1)级星函数。结果是准确的,推广了[2]的结论。     

抛物型方程广义解的能量不等式及唯一性定理

问题的广义解的定义;证明在一定条件下有能量不等式,从而证明广义解的唯一性。这里的a_j、b_i,c,f都是(x,t)的函数。 设G是n维可测域,G是其边界,H_1[G]是在G上具一阶广义导数的Sobolev空间。其范数定义为 (3)这里D是变量x的广义导数。H_1[G]是C_0~∞[G]在范数(3)下的闭苞,我可用B~1([0,T],C_0~∞[G])表示其元素u(t)是t∈[0,T]到u(t)∈C_0~∞的映射,且作为t的函数有一阶通常意义下的导数。在B~1([0,T],C_0~∞[G])中定义范数为     

关于“杨辉三角形的推广”一文的注记

本文用图论方法给出文献[1]中提出的广义杨辉三角形的通解公式:(1 t t~2 … t~k)~n=(?)C_(i 101~(t~i))~(n)     

数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

关于单位分数的一个猜想

若1/x_1+1/x_2+…+1/x_k,0相似文献   

从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

一个不等式的推广

文献〔1〕,中学数学问题栏中第1题:设x,y,z都是正数,求证:x/(y z)~(1/2) y/(z x)~(1/2) z/(x y)~(1/2)≥(3/2)~(1/2)(x y z)     

平均数代换法的某些应用

平均数代换法的应用很广泛,下面仅就证明不等式和求极值等问题,谈谈它的应用。一若x y=A (A为常数),x~n y~n=B。作平均数代换x=A/2 α,y=A/2-α,能够得列仅含α的偶次幂项的等式 f(α)=C_n~1(A/2)α~(n-1) C_n~(n-3)(A/2)~3α~(n-3) … C_n~2(A/2)~(n-2)α~2 =B/2-(A/2)~n(n为奇数)。 (1)     

非均匀剖分下S_2 1(Δ_(mn) ((2)))上的插值

文[1],[2]、[3]、[4]都讨论了有关 S_2~1(△_(mn)~(2))上插值的一些问题,不过,[1]和[2]是基于均匀剖分,而[3]和[4]则又需用到被插函数的导数值,本文将在非均匀剖分之下,首先讨论 S_2~1(△_(mn)~(2))上一类插值样条及其导函数的逼近度,其次给出了一个二元数值积分公式,这些结果均无需用到被插函数的导数值.作为附带结果,本文最后也给出了一个含导数值的插值样条对被插函数的误差估计式.     

一类二阶微分方程的振动准则

对于二阶半线性中立型微分方程:(r(t)︱h′(t)︱~(α-1)h′(t))′+g(t)︱x(σ(t))︱~(α-1)x(σ(t))=0的振动性,本文在文[1]的基础上,利用广义Riccati变换、函数单调性和经典不等式,对其做了进一步研究,建立新准则改进了文献的结果,并提供了证明,并给出例子.     

Poly-Si/SiO_2/Si系统的扩散分析

本文对Poly-Si/SiO_2/S1(多晶硅/二氧化硅/硅)三层系统的扩散进行了分析。根据其扩散解得到二氧化硅层最小掩蔽厚度x_m。 在二层系统 x_m=2(D_2t)1/2 Arg erfc[(1+a)N_b/2mN_o′·10~(-4)] 在三层系统 x_m=2(D_2t)1/2Arg erfc[(1+a)m_1N_b/2m_2N_o·10_(-4)] 指出在三层系统中,由 A.S.Grove等和 H·F·Wolf 分别定义导出的x_m值偏低。     

n阶线性微分方程的初值问题

本文给出n阶线性微分方程的初值问题的求解公式。 若a_1(t),a_2(t),…,an(t),f(t)是区间[a,b]上的连续函数;x_1(t),x_2(t),…,xn(t)是区间[a,b]上齐线性方程     

Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解

讨论了Z[(-n)~(1/2)]的唯一分解问题,得到的主要结论是当n≥3时,Z[(-n)~(1/2)]不是唯一分解环;当-2≤n≤2时,Z[(-n)~(1/2)]是唯一分解环,同时给出了Z[2~(1/2)]的可逆元等价表达形式.     

线性抛物型时滞微分方程组解的振动性定理

本文研究线性抛物型时滞微分方程组 φU_i/φt+sun from j=1 to m(P_(ij)(x,t)U_i(x,t-τ(t)))=a_i(t)△U_i+sun from j=1 to m_1(a_(ij)(t)△U_i(x,t-σ_j)),i=1,2…,m (1)解的振动性,其中(x,t)∈Ω×(0,∞),ΩR~n是具有逐片光滑的边界的有界区域,U_1=U_1(x,t),△U_1=sun from j=1 to n(φ~2Ui(x,t)/φx_j~2),获得了方程组(1)的所有解振动的充分条件,同时给出了应用这些充分条件的例子。     

奇阶中立型微分差分方程的渐近性和振动性

考虑奇阶中立型微分差分方程 [x(t)+Px(t-(?))]~(n)+qx(t-θ)=0, t≥t_0 (1)这儿n为奇数,P、(?)、q、θ为实数,q≠0,我们得到了在各种情形下方程(1)的解的渐近状态,以及方程(1)振动的充分条件,我们的结果扩充了文[2—5]的结果。     

一个实正定方阵行列式不等式的推广

本文得到一个关于实正定方阵行列式的不等式,它是文[1]中相应定理的指数型推广,同时,由其证明过程简便地得到文[2]中定理。文[1]给出了实正定方阵成亚正定矩阵~([3])的概念:设A(?)R~(t×n),R~t是n维实向量空间,若对任意0≠x(?)R~n,有xAx~T>0 (1)则称A是实正定方阵。记S=1/2(A+A~T),K=1/2(A-A~T),我们有:引理1~([3])设A(?)R~(t×n),则A是实正定方阵的充要条件是S是实正定对称阵。     

一类高次根式的分母有理化

为了探索分母有理化的方法,先来研究n=3时的情况。不失证明的一般性,可将三次无理分式的分母写成“1+a_1(p)~(2/3)+a_2(p~2)~(2/3)”的形式。 令矩阵A=()当|A|≠0时 解方程组:A()=() 得x_1= x_2=(a_1~2-a_2)/|A|     

a~(1/n)、n~(1/n)的极限

数列a~(1/n)(a>0)、n~(1/n),即数列a,a~(1/a),…,a~(1/a),…,(a>0)l,2~(1/2),3~(1/3),…n~(1/n),…它们的极限都为1.本文介绍此结果的几种证法.     

一个数列的极限——对《微积分学教程》中一例的补充及订正

文[1]中研究了数列x1=c/2,x(n+1)=c/2+(x_n)~2/2,n=1,2,…的极限,并断言:当c<-3时,数列x_n的极限不存在。本文对该数列作了进一步的探讨,指出文[1]的上述断言是错误的;同时,我们给出了几个在文[1]中未曾讨论到的性质,并且初步揭示了该数列随着参数c的变化所呈现的复杂而有趣的现象。     

一类中立型偏微分方程的振动性

本文研究了一类中立型偏微分方程(?)~2 /(?)t~2[u(x,t)+sum from i=1 to m(λ_i(t)u(x,t-τ_i)])+(?)/(?)t[u(x,t)+sum from i=1 to m(λ_i(t)u(x,t-τ_i)])+P(x,t)u(x,t)+sum from j=1 to m_1(P_j(x,t)u(x,t-δ_j))=△u(x,t)+sum from k=1 to m_2(a_k(t)△u(x,t-p_k)(1)解的振动性,其中(x,t)∈Ω×(0,+∞)≡G,Ω(?)R~n是有界域,(?)Ω逐片光滑,△u=sum from k=1 to n((?)~2/(?)x_k~2u(x,t)),我们获得了方程(1)在不同边界条件下的所有解振动的充分条件,并给出这些充分条件应用的实际例子.