积分顺序可交换的较弱条件

<正> 关于含参量积分顺序可交换的条件,一般教科书上都表述为: 定理1 若f(x,y)在R[a,b;c,d]上连续,则 integral from n=h to b(dx) integral from n=c to d f(x,y)dy=integral from n=c to d(dy) integral from n=h to bf(x,y)dx。 如所周知,其中“f(x,y)在R[a,b;d]上连续”的条件是很强的,用它刻划积分顺序的可交换性甚不理想。比如     

关于商高数的Terai猜想

设(a,b,c)是一个本原商高数三元组,且2|a.如果b■1(mod 16),b2 1=2c,b,c都是奇素数,则方程x2 by=cz只有一个正整数解(x,y,z)=(a,2,2).     

核物理中一个非线性积分方程存在唯一解的充分条件

研究了核物理中的非线性积分方程1=(?)(x)+(?)(x)integral from n=0 to 1(dx/x)R(x,y)/x~2-y~2(?)(y)dy,得到了存在唯一解的一个充分条件.所得结论改进了若干文献中的已知结果.     

(R)积分顺序可交换的充要条件

本文在文[1]的基础上把含参量的(R)积分顺序可交换的条件再加以削弱,得到如下定理:设f(x,y)在R[a,b;c,d]上定义并有界,则成立的要条件是f(x,y)分别对x、y均(R)可积。     

方程Y′+P(X)Y=Q(X)的一种解法

对于一阶线性微分方程 y′+p(x)y=Q(x),(其中 p(x),Q(x)是 x 的连续函数)在求其通解时,除介绍常数变易法外,还可给学生介绍如下方法,例1 求方程y′+ay=0 (1)的通解,其中 a 为实常数。解:利用变量分离法即得通解     

一类非线性方程的渐近解

用两变量方法讨论了一类二阶非线性方程εy″+a(x) y′+b(x) y″=0 ,n∈ Z,x∈ (0 ,1 ) ,y(0 ) =α,y(1 ) =β,并得到了该类非线性方程的渐近解     

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的:当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a)),其中ξ∈[a,b]本文将对该结论做一点推广,即当f(x)在[a,b]上连续时,有integral from n=a to b(f(x)dx=f(ξ)(b—a),其中g∈(a,b)。     

关于不等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_2~2)≥(a_1b_1 a_2b_2)~2和((a_1~2 a_2~2)/2)≥((a_1 a_2)/2)~2的推广及应用

1　 (a21 a22 ) (b21 b22 )≥ (a1b1 a2 b2 ) 2和 (a21 a2 22 )≥ (a1 a22 ) 2的证明及应用定理 1　设 ai,bi,∈ R　 i=1,2 .则 (a21 a22 ) (b21 b22 )≥ (a1b1 a2 b2 ) 2 当且仅当 a1b1=a2b2 时等号成立 ,(约定 bi= 0时　 ai=0 )证明　取辅助函数 f(x) =(∑2i =1a2i)     

关于二元函数可微的一个充分条件

关于二元函数f(x,y)为可微的充分条件,在一般中文教科书里是这样给出的: 若函数Z=f(x,y)的偏导数f_x、f_y在点(a,b)及其某一邻域内存在,且在这一点它们都连续,则函数f(x,y)在点(a,b)可微。 然而,这种要求f_x,f_y同时在点(a,b)存在且连续的条件实在太苛刻了。LouisBrand在他的书(详见参考文献)中,减弱了该条件,证得了f(x,y)在点(a,b)     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

二阶全微分方程和积分因子

一、二阶全微分方程 首先考察二阶变系数非齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y′+P_2(x)y=R(x) (1)和对应的二变系数齐次线性方程: P_0(x)y~"+P_1(x)y~′+P_2(x)y=0 (2)定义1.若方程(1)和(2)的左端恰是某一个一阶微分式的导数:     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

用本征函数展开的绝热消去法研究哈肯模型

本文运用K.Kaneko本征函数展开的绝热消去的思想方法,建立了x方向为乘法高斯白噪音驱动,y方向为加法高斯白噪音驱动的消去快变量框架。对于耦合朗之万方程x=f(x、y)+g(x)ξ_x(t);y=-va(x、y)+b(x)+v~(1/2)ξ_y(t);在选择基矢时把b(x)部分合并到含x偏导的那部分方程中去,并把所得到的一般性方程应用于哈肯模型,发现在加法噪音和乘法噪音下不仅是分岔点发生移动,而且分岔曲线在∈_p= -v/2处截止。     

一个不等式的推广

文献〔1〕,中学数学问题栏中第1题:设x,y,z都是正数,求证:x/(y z)~(1/2) y/(z x)~(1/2) z/(x y)~(1/2)≥(3/2)~(1/2)(x y z)     

对称轴不平行坐标轴的二次曲线

在解析几何中,有时会遇到对称轴不平行坐标轴的二次曲线,如何由这种二次曲线的位置情况求其方程呢?用坐标轴旋转变换去求,这样解题过程将显得较长,以下介绍一种快速求法。为此,先对二次曲线的标准方程作出几何解释:(1)ax22+by22b2x2+a2y2=a2b2这是长轴在x轴上短轴在y轴上的椭圆方程。而x2=|x|2,表示椭圆上任意一点P(x,y)到短轴距离的平方;y2=|y|2表示椭圆上任意一点P(x,y)到长轴距离的平方。由此知,椭圆具有如下属性:椭圆上任意一点P到短轴距离与短半轴的积,以及P到长轴距离与长半轴的积,两者平方和等于长半轴与短半轴之积的平方。(2)同样…     

关于π的公式的探讨

设连续函数y=f(x)定义在闭区间[a,b]上,它的图象为曲线LM。在曲线LM上考虑相邻两个点P(x,y)和Q(x+dx,,y+dy),如图1.过P点作曲线的切线交oy轴于点T,过T作ox轴的平行线分别交PC、QD于A、B两点,其中PC、QD都垂直于ox轴。OS⊥PT。记P为OS的长度,z为点T的纵标,于是z=oT=AC=BD。     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

函数的保号性及其应用

设y=f(x)是区间[a,b]内的一个初等连续函数(图一)。 由图象易知:x_1,x_2,x_3…x_n分别是函数f(x)的n个零点,并把区间(a,b)分成了(n+1)个有序区间(从左到右);在(a,x_1)内,恒有f(x)>0,在(x_1,x_2)内,恒有f(x)<0,在(x_2,x_3)内,恒有f(x)>0,…,在(x_n,b)内,恒有f(x)<0,或者恒有f(x)>0。这一事实告诉我们:     

求y＝a/（f(x)+b）类函数值域的不等式法

对于形如y＝a/f(x)+b(α,b为常数,且α≠o)一类函数,其中f(x)∈G(G为f(x)的取值范围,通过一些实例,介绍其值域的一种新求法,即不等式法.同时,通过每个实例评注,以辩析新方法与原解法各自的优缺点.     

关于丢番图方程a^x＋b^y=2^z

对给定的正整数 a,b,我们证明了方程 a~x+b~y=2~x 除开3~x+5~y=Z~z 仅有正整数解(x、y,z)=(1,1,3) ,(3,1,6) ,(1. 3,7) 和3~x+13~y=2~z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,4) ,(5,1,8) 外,最多只有一组正整数解.从而更正了 Vchiyama 获得的3~x+13~z=2~y 的结果。