巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

函数值域的求法及其策略

求函数的值域是一个比较复杂的问题 ,也是很重要的问题 ,因为它和求函数的最值问题紧密相关 ,同时也是高考命题的热点之一。因此 ,掌握函数值域的求法是至关重要的。一、反函数法。例 1:求函数ｙ =2ｘ -3ｘ 1的值域。解 :由ｙ =2ｘ -3ｘ 1得ｘ =ｙ 32 -ｙ,∴ｙ≠ 2故原函数的值域为{ｙ|ｙ∈Ｒ且ｙ≠ 2 }小结 :分子、分母中只有一次项的可用反函数法。另解 :此类题目也可采用“分子常数法。”解 :ｙ =2ｘ -3ｘ 1=2 (ｘ 1) -5ｘ 1=2 -5ｘ 1≠ 2二、判别式法。例 2 :求函数ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ 1的值域。解 :由ｙ =ｘ2 -ｘ 1ｘ2 ｘ…     

一类非线性微分方程奇点类型的判定方法

1、引言研究微分方程奇点附近的轨线的拓扑结构 ,首先要判定奇点的类型。本文的判定定理就是用简单的方法去判定这类微分方程的奇点的类型 ,从而减少计算量。给定微分方程组 (又称自治系统 ) :ｄｘｄｔ=Ｐ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｔ=ｑ(ｘ ,ｙ)　其中ｐ(ｘ,ｙ) ,ｑ(ｘ ,ｙ)∈Ｃ0 (Ｄ) ,区域Ｄ Ｒ2 , (1 1 )满足方程 ｐ(ｘ ,ｙ) =0ｑ(ｘ ,ｙ) =0 (1 2 )的解 (ｘ0 ,ｙ0 )就是 (1 1 )的奇点 ,我们知道 ,由特征方程 |Ｊ(ｘ0 ,ｙ0 ) -λＥ|=0 (1 3)的特征根λ1 ,λ2 ,当λ1 ,λ2 ≠ 0时 ,总可判定奇点 (ｘ0 ,ｙ0 )的类型及性质 .如果 :ｐ(ｘ ,ｙ)≡Ｐ…     

圆锥曲线中的切线和弦新探

关于圆锥曲线中的切线 ,中点弦和切点弦问题 ,题目繁多 ,特别是含有字母参数的 ,解决往往使师生既感到困难又十分烦琐。根据自己多年的教学实践 ,现对解决这类问题提出新的探讨。设ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ。定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,用ｘ0 ｘ、ｙ0 ｙ、12 (ｘ0 ｙ ｘｙ0 )、12 (ｘ ｘ0 )、12 (ｙ ｙ0 )分别去代ｆ(ｘ,ｙ)中的ｘ2 、ｙ2 、ｘｙ、ｘ、ｙ,代换后所得的式子记为ｆ1 (ｘ ,ｙ) ,即 :ｆ1 (ｘ ,ｙ) =Ａｘ0 ｘ Ｂｘ0 ｙ ｘｙ02 Ｃｙ0 ｙ Ｄｘ ｘ02 Ｅｙ ｙ02 Ｆ命题 1 :设ｆ(ｘ ,ｙ) =0表示圆锥曲线Ｃ ,如果…     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

复数学习中易与实数混淆的几个问题

实数集是复数集的真子集 ,因此 ,复数所具有的性质实数都具有 ,但实数所具有的性质复数不一定具备。由于教材尚无对此进行全面、系统的分析比较 ,学生在学习复数中出现了不少错误 ,为此 ,笔者根据学生出错的实际情形 ,总结了复数与实数之间极易混淆的七个问题 ,通过正误辨析 ,以警示学生甄别谬误 ,澄清认识。一、ｘ2 ≥ 0 ;ｘ21 +ｘ22 =0 ｘ1 =ｘ2 =0当ｘ∈Ｒ时成立 ,当ｘ∈Ｃ时 ,不一定成立例 1、在复数范围内解方程 :　　ｘ4 +1ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =4错解 :由原方程可得 :(ｘ2 -1ｘ2 ) 2 +(ｘ -1ｘ) 2 =0 ,则ｘ2 -1ｘ2 =0ｘ-1ｘ =0　　即 ｘ …     

线图连通度的界

首先给出了线图连通度κ_L的一个上界;κ_L≤δ+△-2;其次得出了在条件δ≥[n/2]+1下κ_L的一个很好的下界;κ_L≥2δ-2;由此得到当δ≥[n/2]+1时,若G为正则图,则κ_L=2δ-2,若G为拟正则图,则κ_L=2δ-2或2δ-1。     

化参数方程为普通方程中一个不可忽视的问题

参数方程 ｘ =ｆ (ｔ)ｙ =ｇ (ｔ) ｔ为参数 ,函数ｘ =ｆ (ｔ)的值域为ｐ ,ｙ =ｇ (ｔ)的值域为Ｑ (Ｐ、Ｑ∈Ｒ) ,消去参数ｔ后得Φ (ｘ ,ｙ) =0 ,则普通方程Φ (ｘ ,ｙ) =0需在Ｘ∈Ｐ ,Ｙ∈Ｑ的条件下与原参数方程等价。不少同学在学过参数方程后 ,对化参数方程为普通方程时 ,往往误以为 :只需把参数消去 ,就算完成了 ,而不去注意所给参数方程与所化得的普通方程是否等价 ,结果得出许多错误结论。下面引两例说明 :例 1、求曲线 (Ｉ)Ｘ =ｃｏｓ2θ - 1………… (1)　　　　　θ为参数Ｙ =1+ｃｏｓθ…………… (2 )与直线ｙ =3Ｘ + 1的交点…     

利用二次函数的性质求极值

我们知道二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）配方得 ｙ＝ ａ（ｘ＋），所以顶点坐标为（　　　）．（１）当 α＞０时，抛物线开口向上，有最低点，即，有最小值，即当时，最小值＝　时，抛物线开口向下，有最高点，ｙ有最大值，即当ｙ最大值．应用这一性质求极值，有以下几种类型．１一般二次函数的极值 例 １（１）求函数ｙ＝－ｘ２－ ３ｘ＋ ２的极值；（２）求函数 ｙ＝ ４ｘ２－ ３ｘ＋２的极值．这类问题可直接利用性质或通过配方来解，具体解答略．２高次函数的极值 有些次数高于２的高次函数的极值，通过变换后，可以利用以…     

一类哈密顿系统被对称扰动后极限环的分布情况

一、引言文献 [1 ]中提到系统 (1 .1 )的类型 ,但没有进行深入的研究 ,所以本文对系统 (1 .1 )进行一些探讨 .ｄｘｄｔ=ｙ(1 ｘ2 -ａｙ2 ) εｘ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)ｄｘｄｔ=ｘ(1 ｃｘ2 ｙ2 ) εｙ(14ｍｘ2 14ｎｙ2 -λ)(1 .1 )其中 :ａ >ｃ >0 ,ａｃ >1 ,0 <ε 1 ,ｍ、ｎ和λ为实参数 .该系统是带有对称扰动的Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 ,我们的目的是研究极限环分布情况及相图 .极限环的分布 ,是由于同宿或异宿轨线受扰动而变化后产生的 ,随着变量参数值的变化 ,我们发现许多有趣的各种各样的极限环的分布情况 ,用判定函数计算后 ,我…     

关于周长三分点的一个几何不等式

1.引言 设P、Q、R分别位于△ABC的边BC、CA、AB上,且将△ABC的周长三等分,即AQ+AR=BR+BP=CP+CQ,QR=p,RP=q,PQ=r,则 p+q+r≥1/2(a+b+c)(1) 不等式(1)早就被人所知道,但它的证明无论是分析的还是几何的,都是十分复杂的。1960年,A·Zirakzadeh给出了一个属于纯粹几何的冗繁证明。1988年,曾振炳给了一个比较简单的证明。到1991年,杨学枝给出的证明则更加简单,令人惊异。而且他认为,(1)式似乎可以推广为:若AQ+AR=μ,BR+BP=λ,CP+CQ=ν,则     

巧设错例激发兴趣

进入初中阶段 ,由于课程不断加深和增多 ,学生常常出现解题失误的现象。只要教师经常去分析和总结学生在学习过程中出现的错误 ,并利用这些错误积极改进教学方法 ,就能达到激发兴趣 ,启发思维 ,培养能力 ,提高教学质量的目的。1 .利用错误 ,预防失误。在教学中 ,利用学生学习教材时经常出现的典型错误 ,在备课时 ,有针对性地安排解决 ,做到防患于未然。例如 :解一元二次方程ｘ - 1 -ｘ3 =2学生经常这样解 :去分母 ,得 3ｘ - 1-ｘ =6导致这种错误的原因是 :不明确分数线的括号作用。因此 ,在教学中 ,可要求学生先将原方程写为ｘ - ( 1 -ｘ) /…     

“单端输入—单端输出”差动放大电路的一种等效电路分析方法

图1(a)为“单端输入—单端输出”差动放大电路图。图1(b)为其信号通路。当输入信号△V_i加入后,晶体管BG_1的基极电流I_(b1)、集电极电流I_(c1)和发射极电流I_(E1)都随△V_i而变。由于R_E的存在,△I_(E1)在R_E上产生的压降其极性与△V_i相同。按照图中标定正方向,如果△I_(E1)为正,则因R_E的耦合作用而引起的△I_(b2)和△I_(E2)必然为负,亦即△l~q_2和I△I_(E2)的实际方向应与标定正方向相反。设△I_(b＇2)=-△I_(b2)、△I＇_(E2)=-△I_(E2),则此时流过R_E的信号电流△I_E为△I_(E1)和△I＇_(E2)之代数和。假定BG_1、BG_2管的电流放大系数均为β,则     

有关园内接正多边形的几个定理——“联想、试验、猜测、论证”发现法一例

(一)一道常见的习题题:如图1△ABC为园内接三角形,P为(?)是任意一点,则有PA+PB=PC。此题在一般的平面几何教科书上均可见到。其证明方法很多,若用Ptolemy定理则立即可得结论:设a为△ABC之边长:则     

一类特殊图的连通度与边连通度之间的关系

本文对一类特殊图——k—正则图给出了连通度与边连通度之间的定量关系:K＇≤[k/2]K。并通过证明过程把这种关系又进一步推广到更为一般的图类上去.对一个简单图G,若存在K个其度不超过k的顶点构成图G的一个点割集,则也有关系式K＇≤[k/2]K成立.由此,对任意一个简单图G,都有关系式K＇≤[△/2]K成立,从而文献[1]中的习题3.1.6(若G是3—正则简单图,则K=K＇)便成为本文的一个自然推论.     

矩阵乘法教学中的几点思考

一、矩阵乘法的定义与实际意义在传统教材中 ,通常作出定义 1 :设Ａ =(ａｉｊ)是一个ｍ×ｓ矩阵 ,Ｂ =(ｂｉｊ) ｓ×ｎ是一个ｓ×ｎ矩阵 ,作ｍ×ｎ矩阵Ｃ =(ｃｉｊ) ｍ×ｎ,其中ｃｉｊ=∑ｓｋ =1 ａｉｋｂｋｊ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｍ ,ｊ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则称矩阵Ｃ为矩阵Ａ与Ｂ的乘积 ,记为 :Ｃ =ＡＢ即Ｃ =∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ1ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａ2ｋｂｋｎ∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ1∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋ2 …∑ｓｋ =1 ａｍｋｂｋｎ本定义对初学者而言 ,比较繁…     

一个命题的推广

高中《代数》（必修）上册复习参考题三第22题（1）小题是这样一个题目：在△ABC中求证：tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC。本文给出上述命题的几个推广。推广1若A B C=k·π（k∈Z），则有上式用余切函数表示，可证得：证明由推广1高中《代数》（必修）上册复习参考题三第22题（1）小题是这样一个题目：在△ABC中求证：tgA tgB tgC=tgA·tgB·tgC。本文给出上述命题的几个推广。推广1若A B C=k·π（k∈Z），则有上式用余切函数表示，可证得：证明由推广1则：（证明略）。推广2则证明即上式用余切函数表示，可证得：一般地，对于若干…     

绝对Henstock积分与Mcshane积分

首先给出绝对Ｈｅｎｓｔｏｃｋ可积一定Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积的简短证明，然后利用Ｌｅｂｅｓｇｕｅ点构造δ（ｘ）函数证明绝对Ｈｅｎｓｔｏｃｋ可积是Ｍｃｓｈａｎｅ可积的，最后，给出一个Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的新的积分和。     

从易到难,触类旁通

“从易到难 ,触类旁通”的程序练习 ,是指解出一个或几个同类型的基本题 ,分析题目特点 ,得出解题规律 ,再对与基本题相类似 ,但比其更深更难的高层次题进行探讨 ,使学生所学知识能融汇贯通 ,并从中领会掌握规律性的解题方法 ,这样既有利于巩固基础 ,扩大知识面 ,提高解题技巧 ,又能训练思维的灵活性、敏捷性 ,增强应变能力。下面以作单摆类运动的物体的周期的计算为例来说明 :作简谐运动的物体的周期公式为Ｔ =2π ｍｋ ,ｍ为物体质量 ,ｋ为回复力Ｆ =-ｋｘ中的比例常数ｋ。对于作简谐运动的单摆 ,其回复力为Ｆ =- ｍｇｌｘ ,所以ｋ =ｍｇ…     

Halin图的均匀染色

Halin图是最小度不小于3的3－连通平面图,且存在一个面,删除关联于该面的所有边后是一棵树。称图G为均匀k-可着色的,如G的顶点集V可分划成K个独立集V1、V2、…Vk,使||Vi|-|Vj||≤1（0≤i＜j≤k）;称使图G的均匀k-可着色的最小整数k为G的均匀色数,记为xe（G）。本文对非K4的Halin图证明△（G）≠4时,对任意的整数k≥［△（G）／2]＋1;当△（G）＝4时,对任意整数的k≥4,G是均匀k-可着色的。从而对Halin图证明了均匀染色猜想（ECC）。