也谈《最高公因式的矩阵求法》

利用λ——矩阵的初步知识,本文给出了多项式的最大因式的另一种矩阵求法(定理1).该法道理浅显易懂,方法简单实用;同时,本文也解决了最大公因式的组合系数问题(定理2),即在求出多项式的最大公因式的过程中,也同时巧妙地求出了多项式μ_i(X)(i=1,2,…,n),使得(?)μ_i(x)f_i(x)=(f_1(X),f_2(x),…,f_n(x)成立,从而弥补了《最高公因式的矩阵求法》一文的缺陷.如文[1]最后所说:“这种方法并没有给出求得使(?)f_i(x)μ_i(x)=d(x)(d(x)为 f_1(x),f_2(x),…,f_n(x)的最高公因式)成立的μ_1(x)(i=1,2,…,n)的办法,因此,如果需要求出这样的μ_i(x)(i=1,2,…,n),则应该使用其他方法.”受文[1]的启发,本文给出了同时能求出文[1]中所说的d(x)和μ_i(x)的矩阵方法.     

三角形惯性极矩不等式的推广

M·S·Klamkin教授于1975年建立了三角形惯性极矩不等式,揭示了平面上任一点到三角形顶点的距离加权平方和与三边的加权平方和之间的不等量关系。这一不等式表述为: 设λ_1,λ_2,λ_3为任意正数,△A_1A_2A_3的三边长分别记为a_1,a_2,a_3,平面上任一点P到顶点A_i的距离记为R_i(i=1,2,3),则 (λ_1+λ_2+λ_3)(λ_1R_1~2+λ_2R_2~2+λ_3R_3~2)≥λ_2λ_3a_1~2+λ_3λ_1a_2~2+λ_1λ_2a_3~2 (1) 本文试对三角形惯性极矩不等式作若干有意义的推广。 首先,我们有     

一类复杂生态系统周期解的存在性

本文研究一类复杂生态系统 _i=x_i〔f_i(t)+(sum from j=1 to n)(a_(ij)(t)lnx_j)〕i=1,…,n (1)和 =x_i〔f_i(t)+sum from j=1 to n(f_(ij)(x_j)〕i=1,…,n (2)的周期解的存在性,得到了判定系统(1)和系统(2)存在周期解的充分判据,推广和改进文〔1〕和〔2〕的相应结果。     

多边形的一个性质及其应用

本文将利用坐标法给出任意多边形的一个性质,并应用此性质在三角形的情形,得到与三角形的重心、内心、傍心、垂心、外心有关的一组距离公式。 定理1.在平面直角坐标系中,n边形 A_1A_2……A_n的顶点坐标依次为A_1(x_1,y_2),     

图(K_2∨(k_n|￣))·(K_2∨(k_m|￣))的协调性

对于正整数m,n∈N+(N+为正整数集合),设Kn表示n个顶点的完全图。本文给出一类图(K2Vkn)·(K2 V km),同时,论证了当m=n-1(n≥2)时,该图是协调图。     

关于菲波那契数列的推广

著名的菲波那契数列{α_n}为:α_0=0,α_1=1,并且当n≥2时,α_n=α_(α_n-1) α_(n-2),其通项公式为:。那么,如果有一个数列{α_n},已知α_0,α_1,且当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα(n-2),能否给出该数列的通项公式呢?答案是肯定的。具体推导如下: 由于{α_n}当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα_(n-2),所以可写出{α_n}的特征方程:λ~n=αλ~(n-1) βλ_(n-2)即λ~(2)-αλ#原图像不清晰     

多元覆盖阶数和维数的相互关系

将覆盖同余式推广到多元覆盖的情形,给出了多元覆盖的定义,证出了当{〈μi1,…,μin〉(〈mi1,…,min〉)}k i=1为一个n元的覆盖系时.若k≥n,则有k≥n+ψ(min{m n+1,…,mk }),这里ψ表示欧拉函数,mi表示mi1,…,m in的最小公倍数.     

从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

混合Ramsey数X_2(m,k_(1,n))的下界

一个图G的全色数x_2(G)是着色G的边和顶点使相邻、关联元素均着不同色所需要的最少颜色数。对于正整数m和星形图K_(1,n),混合Ramsey数x_2(m,K_(1,n))是这样的最小正整数P,使得任一P阶图G或者有x_2(G)≥m,或者G的补图G含K_(1,n)为子图。本文引进全着色矩阵的概念,据此得到混合Ramsey数x_2(m,K_(1,n))的下界:对于m≥3、n≥1,有 x_2(m,K_(1,n))≥m+n-2。 结合Fink给出的上界可知,当m奇数、n偶数时,x_2(m,K_(1,n))=m+n-2;其余情况时,m+n-2≤x_2(m,K_(1,n))≤m+n-1。     

H_+~P中的一般重插值及插值系{Q_n,k(Z)}

§1 引言及已知定理文[1]利用在实轴上双正交的函数系{r_k(z)}_1~∞和{Ω_(ntk)~(?)(z)}_1~∞,对H_+~p(1相似文献   

一类多维正态三角阵列的极限分布

设{ξ_(ni)}为一平稳标准正态三角阵列,记ρ_(n,j)=E(ξ_(ni),ξ_(n,i+j)),在条件(1-ρ_(n,j))ln n→δ_j满足的前提下,limn→∞P(max1≤i≤nξ_i≤u_n(x))=exp(-vexp(-x)),旨在此基础上,应用极限理论的相关理论方法,将上述结果推广至有限维的情形。     

极大路原理与图中的路和圈

设G为n阶2—连通图,顶点v_1,v_2,…,v_n满足d_1≤d_2≤…≤d_n,其中d_i=d(v_i),i=1,2,…,n.本文主要给出周长c(G)≥min{n,m}的如下条件:     

推广的Hadamard码的研究

本文研究了推广的Hadamard码C的最小距离问题,讨论了推广的Hadamard码C是F_2~n上的码,码长为n,维数为2(n+1),并证明了推广的Hadamard码C的最小距离为(n-3)/2.     

图的算数-几何谱半径及能量的界

设G是一个n阶无向图,顶点集为V(G)={v_1,v_2,…,v_n},d_i为顶点v_i的度,i=1,2,…,n。图G的n阶算术-几何邻接矩阵A_(ag)(G)是n阶方阵,其中当顶点v_i与v_j邻接时,它的(i,j)元素为■;否则为0。图G的算术-几何谱半径定义为矩阵A_(ag)(G)的最大特征值,图G的算术-几何能量定义为矩阵A_(ag)(G)的所有特征值的绝对值之和。利用一些已知的不等式及图的最大度、最小度以及一些拓扑指数得到了图的算术-几何谱半径和算术-几何能量的一些新的上下界。     

关于Fibonacci三角形与Lucas三角形

设F_n为第n个Fibonacci数,即f_0=0,F_1=1,F_n=F_(n-1)+F_(n-2)(n≥2),边长为Fibonacci数的Heron三角形称为Fibonacci三角形,文[1]中有如下猜想,当1≤k相似文献   

差分方程x_(n+1)=(ax_(n-1))/(1+bx_nx_(n-1))的全局稳定性

研究了差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)/1+bx_nx_(n-1),n=0,1,2,…(a,b,x-1,x0为非负实数)的全局性质,得到了方程所有正解的单调性、有界性、周期性、局部渐近稳定性和全局渐近稳定性等相关结果.     

几个循环不等式的探讨

给定一个n元函数F(x_1,x_2,…,x_n),若 F(x_1,x_2,…,x_(n-1),x_n)=F(x_i,x_(i+1),…,x_(n+i-1)) (2≤i≤n,约定x_(n+j)=x_j,1≤j≤i-1) 则称F为循环函数。涉及到循环函数的不等式称为循环不等式。 循环不等式有其特有的内在规律,形式新颖而有魅力,在各类数学竞赛中常有所见。国内外对循环不等式的研究颇为活跃,一些有代表性的结论常被推新,也有一些循环不等式的难点至今尚没有完全解决。 本文给出几个较为典型的循环不等式的研究结果。     

图与其补图特征值之和的界

设G是n阶简单图,其补图记为Gc,iλ(G)为G的第i大特征值。文中给出了图与其补图几个常见的特征值之和的界(i=1,2,…,n):-2(nn--1 i)(+i-1 1)≤λi(G)+λi(Gc)≤2(n-i)i(n-1)()及n-1≤λ1(G)+λ1(Gc)≤-1+1+2n(n-1)()()式中,下界可达当且仅当G为正则图。     

Z_P群中N维广义正方体上的哈密顿回路

设Z_P={1,2,…,P-1,0},在模P的加法运算下,Z_P是一个群。Z_P上定义n维广义正方体,其顶点集为{(x_1,x_2,…,x_n):x_i∈Z_P.i=1,2,…,n},两个顶点x和y之间有一条棱,当且仅当sum from i=1 to n丨x_i-y_i丨=1 mod(P)。在这个定义下,本文证明了对任意P≥2和n≥2,Z_P中n维广义正方体上存在一个经过所有顶点的哈密顿回路。文中给出了一些例子作为应用。     

图的升分解的一些充分条件

A Lavi等人在[1]中定义了图的升分解,并提出猜想:设自然数n≥2,G是星S1,S2,…,Sk的并图,Si含有ai条边,n ≤ ai ≤2n-2,∑ai=((n+1)/2),则G可升分解为星图的并。本文说明n=2时猜想不成立。当猜想中的n≥2修改为n≥3时，并不妨假设 ，本文证明了只要下列条件之一满足时猜想就成立:(1) > n+2K一2，且4(n一K+2)≤2 < +3n一4K+8;(2) ≥n+3K-6且