对函数级数“逐项可微分”定理的一点看法

我们知道,在数学分析中对函数级数有如下的“逐项可微分”定理: 若函数级数sum from n=1 to ∞u_n(x)满足下列条件 (i)在区间[a、b]上收敛,并且和为s(x)。 (ii)每一项在区间[a,b]上有连续导数。 (iii)函数级数sum from n=1 to ∞u_     

收敛级数没有收敛得最慢的

常用于正项级数判敛的方法——比较判别法:设正项级数sum from n=1 to ∞(U_n),sum from n=1 to ∞(V_n),且U_n≤V_n 1.若sum from n=1 to ∞(V_n)收敛,则sum from n=1 to ∞(U_n)收敛 2.若sum from n=1 to ∞(U_n)发散,则sum from n=1 to ∞(V_n)发散 这个判敛法简单朴实,但也容易使人想到,收敛或发散的级数是否存在收敛或发散得最慢的呢?答案是否定的。 定义1 设正项级sum from n=1 to ∞(U_n),sum from n=1 to ∞(V_n)都收敛,若,则称sum from n=1 to ∞(U_n)收敛较sum from n=1 to ∞(V_n)慢。 下面所设的级数都是正项级数。 定理1 存在比任何收敛级数收敛更慢的收敛级数。     

关于序标级数

我们知道,无穷级数 sum from n=0 to∞(a_α)可以认为是对小于序数ω求和 sum from r相似文献   

关于三元线性型的Frobenius问题

本文除说明外,所有字母都表示整数。 设a_i>0,i=1,2,…,k,(a_1;a_2,…,a_k)=1,Mk表示线性型f_k=sum from i=1 to ka_ix_i(x_i≥0,i=1,2,…k)的最大不可表数。 关于如何求Mk的问题,即k元线性型的Frobenius问题,是一个至今尚未完全解决的问题。当k=2时,M_2=a_1a_2-a_1-a_2,Frobenius问题已经完全解决了;对于k≥3,虽然人们已经找到了某些算法,但至今还没有找到类似于M_2=a_1a_2-a_1-a_2的公式,即用固定的有限次代数运算来表示Mk的“公式”。关于如何求M_3的问题,华罗庚在《数论导引》中     

具有共型P的Banach空间内的无条件收敛级数

本文证明了:如果级数 sum from n=1 to ∞是具有共型 P 的 Banach 空间内的无条件收敛级数,则成立着 sum from n=1 to ∞‖X_n‖p<∞(1相似文献   

正项级数一组判敛法的构造及应用

<正> 本文首先给出正项级数的一个具有相当普遍性的判敛法,再由它导出著名的Cauchy判别法。以及另外两个比它更精细的新的判敛法。推导方法颇富启发性,所得到的判敛法亦有较广泛的应用。 定理1.设sum from n=1 to ∞U,sum from n=1 to ∞V都是正项级数,当n充分大后,f(x)是(0,+∞)上的严格增函数。     

对数判别法介绍

安庆师院学报介绍过《对数判别法及与柯西、达朗贝尔判别法的比较》一文,这里介绍的是另一种对数判别法及各种判别法(含推广的柯西判别法)的比较,它强于常见的各种判别法而与推广的柯西判别法等价,在应用上则有独到之处。1 .两种类型的对数判别法对数判别法1:正项级数sum from n=2 to∞an,若,则(1)α>1,级数收敛;(2)α<1,或α=-∞,级数发散。对数判别法2:正项级数sum from n=2 to∞an,如果,则     

与正整数有关的两个不等式

《数学通讯》1992年第9期“问题征解” 的第99题是:设n≥1,证明不定方程 ∑sum from k=1 to n a_k~3=(∑sum from k=1 to n a_k)仅有一组互不相同的正整数解{1,2,…,n} 余红兵利用数学归纳法得到了一个更强的结论: 定理1.对任意互不相同的正整数a_1,a_2,…,a_n,有不等式     

利用格林函数计算无穷级数的一个实例

同一格林函数,往往可同时用函数形式和级数形式表示。本文从一个简单的微分方程出发,求出其格林函数的上述二种美示形式,并利用它们计算出无穷级数sum from n=1 to ∞(1/n~2)和sum from n=0 to ∞(1/(2n+1)~2)的值。     

求和矩阵与高阶等差数列求和

本文遵循一有趣规律,构造一个求和矩阵,利用此矩阵介绍求sum from k=1 to n(k~m)的独特方法,从而     

关于单叶函数的几点性质

设函数f(z)=z+a_2z~2+…在单位圆内解析单叶,记其族为S。对f(z)∈S,令φλ(z)=(f(z)/z)~λ=1+sum from 1 to ∞D_nZ~n。本文限制f(z)∈S(a)或Kc(a)(文中定义)条件下,获得β的上界,γ的下界,使t_n(λ)=||D_n(λ)|-|D_(n-1)(λ)||≤Aπ~(-β),sum fron 1 to ∞t(λ)<∞。     

从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

广义对角占优矩阵的一些性质

设A=(a_(jk)_)(n×n)为n阶复矩阵(本文记为A∈C~(n×n),记o_j=sum from k=1 k≠j to n |a_(jk)|,j=1,...,n若|a_(jj)|>a_(j),j=1,…,n,则称a为(按行)严格对角占优矩阵.若(?)=1/2(A A~x)为严格对角占优矩阵,则称A为共轭(严格)对角占优矩阵.关于各类对角占优矩阵特征值的分布,已在文     

某些算子代数的分裂

本文讨论了由有界线性算子sum from i=1 to ∞ T_i和恒等算子1生成的几种闭子代数的分裂问题。如,设α(T)表示T和1生成的弱闭子代数,那么,什么时候α(sum from i=1 to ∞ T_i)=sum from i=1 to ∞ α(T_i)?我们推广了文[2]的许多结果。     

函数f(X)在区间[a,b]上的三角函数展开式及其特例

一、f(x)在[a,b]上的三角展开式及其特例 我们知道,在[-π,π]上满足收敛定理条件(如Dini定理的“逐段光滑”)的函数 f(x),由系数a_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (1)b_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (2)确定的三角级数 a_0/2+sum from n=1 to∞(a_n cosnx+b_n sinnx) (3)     

求sum from K-1 to n sum from j-0 to m(a_jK~j)的一个方法

我们知道sum from k=1 to n sum from j=0 to m(a_jk~j)是关于n的常数项为0的m 1次多项式。本文导出一个直接     

浅议幂级数逐项积分、逐项微分后的收敛域

如果幂数级数: Sum form n=0 to ∞ (a_nx~n=a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n+…) (1) 的收敛区间是(-R,R),则将幂级数(1)在(-R,R)内逐项积分、逐项微分后所得的幂级数分别为:     

exp(sum from k=0 to ∞(a_kz~k))的泰勒展开式及其某些应用

某些函数的泰勒级数展开式的应用,特别是e~z的泰勒级展开式的应用,在纯数学和应用数学领域中是众所周知的。型如h(z)=exp(sum from k=0 to ∞ ~ak~(z~k)这样的函数,经常出现在诸如复分分析与调和分析,概率论与统计学以及数值分析等这些数学领域中。在所有这些数学领域中,这一类型函数的泰勒(系数)展开式起着非常重要的作用。因而,为了计算上的各种原因,需要用已知常数a_k(k=0,1,2,……)米显式表示h Z泰勒系数。     

一个不等式的证明及应用

给出了不等式 n/(sum from i=1 to n(1/a_i))≤(multiply from i=1 to n(a_i))~(1/n)≤(1/n)sum from i=1 to n(a_i)(n≥2,诸a_i>0)的三种证法,以例说明了它在求某些函数极值问题上的应用,并由它推出几个有用的不等式。     

一类中立型偏微分方程的振动性

本文研究了一类中立型偏微分方程(?)~2 /(?)t~2[u(x,t)+sum from i=1 to m(λ_i(t)u(x,t-τ_i)])+(?)/(?)t[u(x,t)+sum from i=1 to m(λ_i(t)u(x,t-τ_i)])+P(x,t)u(x,t)+sum from j=1 to m_1(P_j(x,t)u(x,t-δ_j))=△u(x,t)+sum from k=1 to m_2(a_k(t)△u(x,t-p_k)(1)解的振动性,其中(x,t)∈Ω×(0,+∞)≡G,Ω(?)R~n是有界域,(?)Ω逐片光滑,△u=sum from k=1 to n((?)~2/(?)x_k~2u(x,t)),我们获得了方程(1)在不同边界条件下的所有解振动的充分条件,并给出这些充分条件应用的实际例子.