数学解题中的“辩证法”

1 常量与变量,相互可转换 常量与变量是相对的,在一定条件下,两者可互相转换。 例1.解方程(x~2+6x+10)~(1/2)+(x~2-6x+10)~(1/2)=6 3~(1/2)。 解:变换原方程的结构,有 ((x+3)~2+y~2)~(1/2)+((x-3)~2+y~2)~(1/2)=2 3~(1/2)(其中y~2=1)它表明:动点P(x,y)到两定点F_1(-3,0)和F_2(3,0)的距离之和为2(3 3~(1/2))。这就是椭圆。其标准方程为     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

关于求sum from p=1 to n(p~m)的注记

在正整数方幂和表示为多项式:sum from p=1 to n (p~m)=sum from i=0 to m (αx~(m-i+1))的基础上,用代数方法证明了多项式的系数α_(2i+1)=0,(i∈N,2i+1不超过m的最大奇数),简化了求正整数方幂的计算。     

求自然数方幂和的一个简单公式

求自然数方幂和有许多方法本文给出求自然数方幂和的又一公式,应用这个公式可以比较简单地求出自然数的任意次方幂的和。此公式具有简洁易记的好用的优点。 1 xe~x/(e~x-1)的展开式令f(x)=xe~x/(e~x-1),f(x)在x=0时为0/0的不定式,但有:所以我们定义f(0)=1,故f(x)可在x=0附近展开,由数学分析,我们有下面的展开式 xe~x/(e~x-1)=B_0+B_1x+B_2x~2/1·2+B_3x~3/1·2·3+……(1)其中B_0,B_1,B_2,B_3,……为待定系数。由级数相乘的理论,用下面级数 e~x-1=x+x~2/1·2+x~3/1·2·3+……(2)乘(1)的两边,左边的乘积等于     

一类n阶非线性微分方程多点边值问题解的存在性

利用Leray-Schauder度理论建立了n阶非线性微分方程y(n)=f(x,y,y′,…,y(n-1)),n≥3,满足多点边界条件yn-1(0)-hyn-2(0)=0,y(i)(ηi)=0,i=0,1,…,n-3,y(n-1)(1)+ky(n-2)(1)=0.的多点边值问题的解存在性的几个充分条件,并给出了应用举例.     

关于(x~p+y~p)/(x+y)的素因子的一个命题及两点应用

Ⅰ 设P是奇素数,x、y是整数,本文讨论整数(x~p+y~p)/x+y的素因子问题,关于这个问题有下面结果: 命题Ⅰ:设P是奇素数,x、y是互素的整数(x+y≠0),那么对于(x~p+y~p)/x+y的任一素因子q有: i) q≥P ii)若q≠p,则p|q-×,即存在正数h,使q=2hp+1。 为了证明命题Ⅰ,先证明下面的引理: 引理:设k、m是互素的正奇数,x、y、d是整数,若d|x~k+y~k,d|x~m+y~m,则d|x+y。 证:为了方便,不妨设(x,y)=1、((x, y)≠1结论同样成立。) 此时有(x,d)=1 (y,d)=1     

关于丢番图方程x~3-1=Dy~2

本文证明了x~3-1=Dy~2(D>0,不含平方因子,且被6k+1形素数整除)当D<100,D≠26,31,7,38时,除D=61,仅有解(x,y)=(13,±6)外,其它情况无非零整数解。     

二重积分化为累次积分的体积推导法

一般的分析教材,当f(x,y)≥0时,都会将f(x,y)d×dy解析为底面为D、曲顶Z=f(x,y)的柱体体积。但未深入研究是否可由此导出化为累次积分的公式。本文旨在给出一个直观有趣的体积推导法,将二重积分化为累次积分,过程简单易懂,对理论研究、教材编写、教与学诸方面将有一定的作用,以定理形式表述于下。     

关于Diophantine方程x3-8=py2

在p是奇素数的假设下,证明了如果p=12r2 1,其中r是偶数,则方程x3-8=py2没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y).     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

关于Burton-Kebler文献老化经验公式及МотЫлев修正式

问题的提出1960年,R. E. Burton和R. W. Kebler根据J. O. Bernald将文献老化(Obsolescence)过程与放射性物质衰变过程相类比的想法,提出了著名的描述文献老化过程的经验公式: y=1-((a/e~x)+(b/e~(2x))) …(1) (a+b=1)其中:x代表以10年为单位的时间变量(即被引文献的出版年龄),y代表被引文献的累积百分数(Cumulated Percentage) (即被引文献按其出版年龄累积的相对数量),     

《岭南师范学院学报》2016年第1～6期总目次

主要利用同余式、平方剩余、Legendre符号的性质等初等方法证明了P≡1(mod24)为奇素数,q=73,97,241,409,(P/q)=-1时,Diophantine方程x~3-1=Pqy~2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

调和多演函数及其映射

在复变函数论里,我们所讨论的函数,主要是(单值)解析函数:f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)。这种函数在其定义域里任意一点z的导数:     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

关于椭圆曲线y~2=qx(x~2-32)的整数点

设q为无平方因子的正奇数,q的任意素因子qi(i∈Z~+)都满足qi≡5(mod 8),主要利用同余的性质、Legendre符号等证明了y~2=qx(x~3-32)除了整数点(x,y)=(0,0)外至多有4个整数点(x_1,±y_1),(x_2,±y_2).     

关于不定方程1m+2m+…xm=yn

文章利用初等数论方法及不定方程的理论,证明了S1(x)=y4,S,1(x)=y3,S2(x)=y3,S3(x)=y8,S3(x)=y3无非平凡解.     

μedblweB 多项式的一个性质

<正> 多项式,即由递推公式To(x)=1,T_1(x)=x,T_(n+1)(x)=2xTn(x)-T_(n-1)(x) n=1,2,…所决定的多项式 Tn(x),有许多奇妙而有趣的性质,并在计算方法、函数逼近等现代教学研究领域中有着极其广泛的应用。正因此,人们在研究多项式 y(x)=sum from l=0 to m a_ix~(m-i) 或在作函数级数的数值计算等方面,往往要把一般多项式形式用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出,以便于研究或减少运算次数。本文主要讨论一般多项式怎群用 Tn(x)(n=0,1,…)线性表出(关于能够线性表出性,     

对称函数的性质

n 元函数 f(X_1,X_2,…X_n)称为对称函数,如果 f(X_1,…,Xi,…,X…X_n)=f(X_1,…,Xj,…,X,…,X=1,2,…,n.)。对称函数有许多特殊的性质,下面主要就二元函数来讨论对称函数的几个性质。显然,二元函数 f(x,y)是对称函数,如果 f(x,y)=f(y,x)。下面各性质中,总是假定 f(x,y)是对称的,不再作声明。     

丢番图方程x~3+27=67y~2整数解的研究

利用递归数列、同余式和平方剩余研究了丢番图方程x~3+27=67y~2的整数解,并求出了它的全部整数解为(x,y)=(-3,0),(1320,5859).