关于半正定矩阵的一些结果

设A是n阶实矩阵,如果对任意非零实n元向量X,均有X＇≥(>0),就称A为半正定矩阵(正定矩阵)。已有不少文章研究了正定矩阵的性质,但关于半正定矩阵的研究尚不多见。本文给出半正定矩阵的一种合同标准形,由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负;可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定。     

正定矩阵运算的封闭性

正定二次型,在二次型中占有重要位置,它在其他学科中也有重要应用。和正定二次型相伴的是正定矩阵。本文讨论正定矩阵对哪些运算是封闭的。 高等代数中把正定二次型的矩阵称为正定矩阵,也就是说,一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵,如果二次型X~TAX是正定二次型,此处X=(X_1,…,X_n)~T,T为矩阵的转置运算,     

广义次正定矩阵

定义了广义次正定矩阵，研究了广义次正定矩阵的一些性质，给出了判定ｎ阶矩阵是广义次正定矩阵的一系列充要条件     

关于亚半正定矩阵的讨论

本文指出了［１］，［２］关于亚半正定矩阵讨论中的一些错误，证明了亚正定矩阵集合是可逆的亚半正定矩阵集合的真子集。     

格兰姆矩阵与正定矩阵

本文提出了格兰姆矩阵的概念,研究了格兰姆矩阵与正定矩阵的关系,得出了以下重要结论;正定矩阵必为格兰姆矩阵:只有当a_1,…,a_n线性无关时,格兰姆矩阵M(a_1,…,a_n)才是正定矩阵。并利用这一结果,给出了一些有关正定矩阵问题的简捷证明。     

广义次正定复矩阵及其性质

继续研究决正定矩阵的理论，定义了复数域上的广义次正定矩阵，讨论了它的一系列性质．     

也谈半正定二次型的判定

在[1]中有以下 定理1 实二次型X′AX(A′=A)为半正定的充要条件是A的一切主子式皆非负。 但这个定理在实际运用中是非常不方便的,这里我们介绍如下 定理2 实对称矩阵A为半正定的充要条件是:对于任意正数a,aE+A均为正定。 证 先证必要性:若A为半正定矩阵,则对于任意非零列向量X,都有X′AX≥0,从而对于任意正数a,X′(aE+A)X=aX′X+X′AX>0。同时又有(aE+A)′=aE+A,故aE+A为正定矩阵。     

关于正定矩阵方幂的讨论

本文指出了正定矩阵的方幂一般不是正定矩阵,并且给出了正定矩阵2~k次方幂为正定矩阵的一个充要条件。     

亚半正定矩阵的两个等价条件

指出了已有文献中两个重要定理的错误，并给出了修正结果，同时给出了亚正定矩阵的合同标准型及亚半正定矩阵两个等价条件．     

关于正定复矩阵的若干结论

本文讨论了正定复矩阵Schur补的性质,应用子(矩阵)结构讨论了正定复矩阵,给出了一类正定复矩阵判别法,以及两个正定矩阵的Kronecker积与Hadamard积的复正定性。     

可对称化矩阵特征值的任意扰动

针对可对称化矩阵,研究了可对称化矩阵特征值的任意扰动和实任意扰动。从Schur分解入手,利用矩阵可对角化的性质,通过矩阵等式的恒等变形,得到了可对角化矩阵关于F-范数和Q-范数的任意扰动界。     

论正规矩阵的充要条件

由矩阵对角化、矩阵分解、谱分解、矩阵实部和虚部及特征向量等方面论证了正规矩阵的充要条件 .     

四元数体上矩阵相似的一个判定方法

运用四阶矩阵表示四元数,建立了四元数体上矩阵与一类实矩阵的同构性,由此得到体上矩阵相似的一个判定条件.     

实数不等式在矩阵论中的推广

文章利用矩阵迹的相关知识,把两个实数不等式推广到矩阵迹的不等式和矩阵的范数不等式,进一步给出了范数形式的推广形式。     

实数域上一类矩阵方程的解

研究了实数域上一类矩阵方程解的性质、结构,给出了相应的算法步骤、算例,并把相应的结论推广到此类型的矩阵方程上.     

实对称方阵的同时合同简化型与对角化

给出一半正定对称阵Ａ与一对称阵Ｂ 的同时合同简化型，并给出较之两半正定对称阵更弱的条件，证明了两矩阵可同时合同对角化，从而在实数域上改进了已有文献的相应结果．     

基于谐波特征矩阵的负载识别

给出一种基于电流谐波特性矩阵的负载识别方法，并利用二进制数独立不重复的特性，给出了求多个数据随机组合计算值的算法。此方法首先采样计算各单一负载的谐波特性，利用随机组合计算算法得到各种负载组合后的谐波特性矩阵。之后实时地计算当前电网中的电流谐波值，并将此值与谐波特性矩阵中的数据进行比对，与吻合数据对应的负载即为当前工作在电网中的负载。此方法在试验中取得了很好的效果。     

改善判断矩阵的一种可行方法

基于对数最小二乘优化原理,先构造可达完全一致性要求的中间判断矩阵,并在此基础上应用取整函数法,建立一个既满足一致性检验要求又有实用价值的新判断矩阵。大量实例计算验证了所提方法的有效性。     

实数域及四元数除环上有平方根的方阵

给出了实数域及实四元数除环上方阵有平方根的充分必要条件．     

广义Cholesky分解新的扰动分析

设实对称矩阵K具有广义Cholesky分解,证得扰动矩阵的广义Cholesky分解满足：｜｜ΔL｜｜F/｜｜L｜｜2≤Kc（k）ε＋O（ε^2）．例子表明此扰动结果比以往的结果更精确．