从一道习题得到的几个定理

刘玉琏,付沛仁编的《数学分析讲义》最新版(1992年7月第三版)练习题9.2(一)第6题(该讲义下册63页): 证明:若函数级数sum from n=1 to f_n(x)与sum from n=1 to g_n(x)在区间I都一致收敛,且函数列{f_n(x)}与{g_n(x)}在区间I都一致有界,则函数级数sum from n=1 to f_n(x)g_n(x)在区间I一致收敛。 这是历次版本未有的一道新题,遗憾的是它却又是该讲义中少有的一道伪习题。 定理1 上述习题为伪命题 [反例] 取f_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/2),g_n(x)=(-1)~(n-1)1/n~(1/3)使用莱布尼兹判别法不难验证sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/2)与sum from n=1 to (-1)~(n-1)1/n~(1/3)均收敛,由于与x无关,对x当然一致收敛,又,|(-1)~(n-1)1/n~(1/2)|≤1,与(-1)~(n-1)1/n~(1/3)≤1(x)即对x一致有界,但是sum from n=1 to ∞1/n~(1/2)·1/n~(1/3)=sum from n=1 to ∞1/n~(5/6),5/6<1,发散。 因此,上述习题为伪命题 □     

一个数列的极限——对《微积分学教程》中一例的补充及订正

文[1]中研究了数列x1=c/2,x(n+1)=c/2+(x_n)~2/2,n=1,2,…的极限,并断言:当c<-3时,数列x_n的极限不存在。本文对该数列作了进一步的探讨,指出文[1]的上述断言是错误的;同时,我们给出了几个在文[1]中未曾讨论到的性质,并且初步揭示了该数列随着参数c的变化所呈现的复杂而有趣的现象。     

非参数回归函数估计的一个结果

<正>设Y_1,Y_2,…Y_a是在固定点x_1,x_2,…x_R的几个观察值,适合模型Y_i=g(x_1)+E_i 1≤i≤n这里g( )是〔0,1〕区间上的未知函数,{a_i}是零均值的iid随机变量,且假定0≤x_1≤x_2≤…≤x_n≤1。我们要估计g()。Priestly and chao提出了一种加权核估计方法,即用(2)来估计g(x)。其中K(u)是密度函数,文[1]给出了g_(?)(x)     

关于菲波那契数列的推广

著名的菲波那契数列{α_n}为:α_0=0,α_1=1,并且当n≥2时,α_n=α_(α_n-1) α_(n-2),其通项公式为:。那么,如果有一个数列{α_n},已知α_0,α_1,且当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα(n-2),能否给出该数列的通项公式呢?答案是肯定的。具体推导如下: 由于{α_n}当n≥2时满足α_n=αα_(n-1) βα_(n-2),所以可写出{α_n}的特征方程:λ~n=αλ~(n-1) βλ_(n-2)即λ~(2)-αλ#原图像不清晰     

对平均数中几个问题的异议

一、关于确定中位数位置的问题 (一)单项分配数列要用(n+1)/2计算中间位置 计算中位数,首先要确定中位数所在的位置。对于单项分配数列,我认为中间位置应按(n+1)/2的公式计算,不宜用∑f/2公式,因为: 1、单项分配数列与“未分组资料”无实质区别。该讲义的例子只不过是把159、159、162、162、162、162、……171、171、171和173。     

关于一类数列的通项公式

1979年6月号《数学通报》发表的《关于一数列的通项公式》,求出了一个数列(本文中的例1)的通项公式。本文用幂级数展开的方法,求得同类数列的通项公式。 已知数列 x_0=b_0,x_1=b_1,α_0x_n α_1x_(n-1) α_(n-2)=0(α_0,α_1,α_2为非零实数,n≥2),则{x_n}有下列通项公式: (1) 当辅助方程α_0 α_1y α_2y~2=0有相等实根y=r时,     

论数列{1+1/2+1/3+…+1/n}发散性的证明

一、问题的提出 数列的歌西收敛准则,是数学分析基础理论重要支柱之一。尤应注意数列发散性的证明。 很多教材都喜欢引用调和数列y_n=1+1/2+1/3+…+1/n作为典型的发散性例子。但在证法上很值得深入研究一番。     

二维多目标凸规划较多解的求解方法

(其中C∈Rm×2,g(x)=(g_1(x),…,g(x))~T∈R~?,b∈R~?,g(x)(i=1,2,…,p)为凸函数)较多有效解的求解方法。 记C~i为矩阵C的第i个行向量,且 X={x∈R~n|g(x)≤b}≠φ由[2]知,若x~*是问题(1)的较多有效解,则     

含有中心二项式系数的“趣味”级数

修饰语“趣味”用在这里,其专门含意解释如下:一个级数叫做“趣味”时,对于它的n次项有一个简单明确的公式,并且它的和能够用已知的常数来表示。于是 1+1/2+1/4+……+1/2~n+……=2; 1-1/2+1/3-1/4+……+((-1)~(n+1))/n+………=log2; 1+1/16+1/81+1/256+……+1/n~4+……=π~4/90是常见的“趣味”级数的例子。     

一个递推数列的通项公式及应用

给出了递推数列an+ 1 =f(n)an,(f(n) ≠ 0 )的通项公式 ,并举例说明了它的应用。     

a~(1/n)、n~(1/n)的极限

数列a~(1/n)(a>0)、n~(1/n),即数列a,a~(1/a),…,a~(1/a),…,(a>0)l,2~(1/2),3~(1/3),…n~(1/n),…它们的极限都为1.本文介绍此结果的几种证法.     

函数f(X)在区间[a,b]上的三角函数展开式及其特例

一、f(x)在[a,b]上的三角展开式及其特例 我们知道,在[-π,π]上满足收敛定理条件(如Dini定理的“逐段光滑”)的函数 f(x),由系数a_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (1)b_n=1/π integral from n=-π to π f(x)siinxdx,(n=1,2,3,……) (2)确定的三角级数 a_0/2+sum from n=1 to∞(a_n cosnx+b_n sinnx) (3)     

关于某类级数的部分和公式

关于自然数连续n项k次幂的求和公式,有不少数学家在研究。特别是著名数学家陈景润使用递归关系式,得到了下面的定理(见文献[1].[2]): 定理 设n是正整数,令N=n(n 1),M=2n 1,当k=1,2,……,20时,     

比内公式推广及斐波那契数列求和

斐波那契数列a,b，a＋b，a＋2b，2a＋3b，…的通项公式为Un=a/√r[（（1＋√5）/2）^（n-2）-（（1-√5）/2^（n-2）]＋b/√5[（1＋√5）/2^（n-1）-（（1-√5）/2^（n-1）]，前n项和公式为Sn=Un＋2-U2=Un＋2b前10n项和公式为S10n=11（U7＋U17＋…＋U10（n-1）＋7），这是研究法国数学家比内的公式后得到的推广。     

由一个数列单调性引发的探究

本文从数列(1+1n)n(n∈N*)和(1+1n)n+1(n∈N*)的单调性出发,探讨了数列(1+1n)n+12(n∈N*)的单调性,进而研究了数列(1+1n)n+a(n∈N*,a∈R为常数)的单调性,并得出一般性的结论.     

一类特殊数列性质、作用的探索

本文研究了满足条件“Aan + 1=Ban+CDan2 +E”的一类特殊数列 {an}在特定条件下递推公式的求法 ,得到了两个既重要且又十分美妙和谐的结论 :在上述的数列中 ,若参数A、B、C、D、E满足条件“A、B、C、D、E∈Z ,ABCD≠ 0 ,A >0 ,且A2 =B2 -C2 D” ,则该数列一定是一个二阶线性递归数列 ,或更特殊一些 ,是一个周期数列。即该数列 {an}一定满足an + 2 =2BAan + 1-an,或an + 2 =an。我们将文中 [1 ]中的结论作了进一步的推广 ,文 [1 ]中的问题成了本文结论的一个特例。     

公式sum from k=1 to n(sinka=(sin(na/2)×sin((n+1)a)/2))/sin(a/2))的证明及应用

现行高中代数课本(乙种本)下册第46页一道例题:设sinα/2≠0,试用数学归纳法证明sum from k=1 to n(sinknα)=(sin(nα/2)sin(n+1)α/2)/sinα/2,教材中用数学归纳法给出了证明。下面就这一公式给出另外的四种证明方法,并举例说明其应用。 证明方法一:构造辅助数列和式法 证明:设Sn=cosα+cos2α+cos3α+…+cos(n+1)α将Sn与其自身两边同时相减(其中右边错开两项相减)得:     

同顺序m×n排序问题的一种近似解法

“同顺序m×n排序问题”是指:n个零件Aj(j=1,2,……,n),要在m台机器M_i(i=1,2,……,m)上加工,并满足(1)Ai的加工顺序是相同的,即都是先在M_1上加工,再到M_2上加工,……,最后到M_m上加工。(2)每台机器在同一时间只     

关于矩阵乘积迹的两个不等式

关于矩阵乘积的迹,[2,3,4,5]推广了Bellman不等式。本文就n=2~m(m为自然数),A、B正定且AB=BA时,证明了 tr(A~(2~m)B~(2~m))≤[tr(AB)]~(2~m)≤(trA)~(2~m)(trB)~(2~m)………………(1)在A_1,A_2,…,A_m为n阶两两可交换的正定Hermite矩阵的条件下,证明了 tr(A_1~m A_2~m…A_m~m)≤[tr(A_1A_2…Am)]~m≤multiply from i=1 to m[tr(A_i~m)]…………(2)其中tr(A)表示矩阵A的迹。     

有限个一致L-lipschitzian渐近伪压缩映象的迭代序列在Banach空间中的收敛性

在Banach空间研究了有限个一致L-lipschitzian渐近伪压缩映象的迭代序列的收敛性问题.即:Ti(i=0,1,…,N-1)是一致L-lipschitzian渐近伪压缩映象,迭代序列{xn}定义为:xn+1=(1-λ)xn+λnTn-1nxn-λnθn(xn-x1),n∈N其中Tn-1=Tn-1(modN),{An},{θn}是(O,1]中满足一定的条件的实数列,则||xn-Tn-1xn||→O(n→∞).