由一道课本习题引出的解题策略及应用

现行高中数学《代数》下册第 1 2 5页有这样一道习题 :有四个数 ,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列 ,并且第一个数与第四个数的和是 3 7,第二个数与第三个数的和是 3 6,求这四个数。解 :设所求的四个数为 :ａ-ｄ ,ａ,ａ+ｂ,(ａ+ｄ) 2ａ则 (ａ-ｄ) +(ａ +ｄ) 2ａ =3 7ａ(ａ +ｄ) =3 6　　解得 :ａ1 =1 6ｄ1 =4或ａ2 =814ｄ2 =-92∴所求的四个数为 1 2、1 6、2 0、2 5或994,814,634,494。此题看似平常 ,实则内涵丰富 ,是一道不可多得的好题。笔者发现 ,凡对于一些题设中直接或间接出现形如ａ+ｃ =2ｂ(即ａ、ｂ、ｃ成等差数列 )的数…     

解析几何中的解题技巧

解析几何是中学数学的重要内容之一 ,题型多 ,变化广 ,用传统解法虽然容易入手 ,但相关运算比较繁琐 ,如果能运用其它知识和一些技巧变换 ,往往能达到事半功倍的效果。下文从如何运用解析几何本身的解题技巧、平面几何知识和充分发掘隐含条件等三个方面来阐述。一、运用解析几何本身的解题技巧简化解题过程1 .巧用定义解题例 1　设Ｐ是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )上除顶点外的任意一点 ,Ｆ1 ,Ｆ2 是焦点 ,∠ＰＦ1 Ｆ2 =α ,∠ＰＦ2 Ｆ1 =β .求证 :ｔｇα2 ｃｔｇβ2 =ｃ -ａｃ ａ　　 ,　　ｃ2 =ａ2 ｂ2 。分析 :注意到 α2…     

非对称式求值的若干技巧

我们知道,若α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则由韦达定理可求出形如α~2+β~2、α~3+β~3、1/α+1/β的值,这一类代数式所具的特征是:把α、β的位置对换后所成的代数式(对换式)与对换前的代数式完全相同,我们称之为对称式。不符合这一特征的代数式即非对称式。如α~2+3β、α~3+α-2β等,这一类代数式如何求值呢?本文就非对称式求值问题介绍几种常用方法,以帮助同学们在学习时参考。     

一类最值题的解法探讨

曾经在一份某区教委的教师素质测试试题中看到这样一道题 .题 (Ｉ) :已知实数ｘ、ｙ满足ｘ ｙ =2ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2①②求ｘｙ的最大值 .解 :①2 -②得 2ｘｙ =-ａ2 3ａ 2 =- (ａ - 32 ) 2 1 74 ③∴当ａ =32 时 ,ｘｙ的最大值为1 74 .上述解法是否正确 ?若不正确 ,如何改正 ?很多考生认为解答错误 ,并立即找到了错误的原因 ,认为已经超出了题目中要求的ａ的取值范围 ,于是 ,得出了以下解法 :解 (一 )∵　ｘ2 ｙ2 =ａ2 - 3ａ 2≥ 0∴　 (ａ - 2 ) (ａ - 1 )≥ 0∴　ａ≥ 2或ａ≤ 1于是当ａ =2或ａ =1时 ,由③得 ,ｘｙ的…     

巧用数学知识解决物理问题

运用数学知识解答物理问题的能力 ,是高考重点考查的能力之一。因此 ,我们在平时的教学中 ,把数学“工具”渗透到物理教学中 ,往往能使问题变得更明了、简捷 ,能更好地解决物理教学上的难点、难题。一、巧用数学知识能把问题说得更清楚1 .共点力作用下物体的平衡条件是 :合力为零 ,即Ｆ合 =0 ,在正交分解中可表示为 :Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0以上由Ｆ合 =0 , Ｆｘ合 =0Ｆｙ合 =0 ,若能有意无意地运用数学知识 ,就能使问题变得更明了。在数学中有一类特殊方程的求解方法 :如(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =0 ,即两数的平方和为零 ,则只有 ｘ -ａ=0ｙ -ｂ=…     

类电场、类磁场和扭转场的相对论变换特性

借助于电磁场的相对论变换关系,讨论了类电场、类磁场和扭转电磁场的相对论变换特性。 根据相对论电动力学,当参照系作洛仑兹变换时,电磁场的变换关系为 E＇_(||)=[E+β×cB]_(||),E＇_(┹)=γ[E+β×cB]_(┹).　(1) cB＇_(||)=[cB-β×E]_(||),cB＇_(┹)=γ[cB-βE]_(┹).利用E＇= E＇_(||)+E＇_(┹),cB＇= cB＇_(||)+cB＇_(┹)由(1)式可得 E＇=γ[E+(β×cB)]-(γ-1)(β(E·β))/β~2,cB＇=γ[cB-(β×E)]-(γ-1)(β(cB·β))/β~2 (2)由E,B构成的不变量中,只有两个是独立的: 　 E·B=不变量,C~2B~2-E~2=不变量. (3)按照(3)式给出的不变量,可以把电磁场分为四类:自由电磁场、类电场、类磁场和扭转电磁场。关于自由电磁场的相对论变换特性,一些文献中已有详细论证,本文只讨论类电场、类磁场和扭转电磁场(以下简称为扭转场)的相对论变换特性。     

关于Giuga猜想的一点探索

证明以下两个结论 :(1)当 2 |r时 ,居加数n若存在 ,则必有n≡ 1(mod6 ) ;(2 )若合数n =p1p2 …pr 满足条件r(pr -1r - (pr- 1) r-1+(p2 - 1)… (pr- 1) ) 相似文献   

Co-Phen配合物的合成与晶体结构

硝酸钴、邻菲罗啉(Phen)和4,4′-联吡啶在碱性的水溶液中反应得到一种晶体配合物[Co(NO3)(Phen)2]NO3.4H20,本文探讨了该化合物的合成和晶体结构。结构分析表明:晶体属三斜晶系,P-1空间群:a=0.79584(16)nm,b=1.0349(2)nm,C=1.6579(3)nm,α=105.96(3)°,β=103.32(3),°γ=90.14(3),°V=1.2744(4)nm3,Z=2,R1=0.0546,w2R=0.1429.     

射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量

本文刻画了定义在n维流形上的射影平坦的弱Landsberg的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中α=(a_(ij)(x)y~iy~j)~(1/2)是一个黎曼度量且β=bi_(x)y~i是一个1形式;也刻画了定义在n(≥3)维流形上的射影平坦且具有相对迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量F=αφ(β/α),其中φ=φ(s)是关于s的多项式。     

有限维与无限维线性空间某些性质的差别

本文说明有限维线性空间中有些性质在无限维线性空间中是不成立的,如在教学中注意这些问题,是很有益处的.(本文符号采用I)性质1 设W是V的真子空间,在有限维线性空间中,显然W的维数不能等于V的维数,即维V≠维W.但在无限维线性空间中却有这情况存在.例1.设F[x]是数域F上无限维线性空间.F[x]的真子空间:W={sum from i=0 to n(a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F},这里有维W=维F(X),且W同构于F(X).性质2 在有限维线性中间中,设V_1,V_2是V的两个真子空间,有结论:维V_1+维V_2=维(V_1+V_2)的充分必要条件是V_1∩V_2={0}.但在无限维线性空间中,却有情形,维V_1+V_2=维V,有V_1∩V_2≠{0}.例2 F[x]的真子空间:V_1=xF[x]={xf(x)|f(x)∈F[x]},{sum from i=0 (a_ix~(21))|γ_n∈N∪{0},a_i∈F}于是维V_1十维V_2=维F[x],但V_1∩V_2≠{0}下面着重说明一下,有限维线性空间有:性质3 设V是n维线性空间.A是V中任一线性变换,则下列命题等价:(1)A是可逆变换;(2)若Aα=Aβ,则α=β;(3)A~(-1)(0)={0},即A的核由一个零向量组成;     

超分子化合物(HDPA·DMF)2(HDPA·2DMF)(PMo12O40)的合成、表征及结构

以MoO3,H3PO4和2,2′-联吡啶胺(DPA)等为原料,经过水热处理,再利用N,N-二甲基甲酰胺(DMF)溶剂重结晶制备了多金属氧酸盐基超分子化合物(HDPA.DMF)2(HDPA.2DMF)(PMo12O40),并对其进行了元素分析I、R表征和X-射线单晶结构解析.晶体学参数:三斜晶系,P-1空间群,a=1.2493(3)nm,b=1.2694(3)nm,c=1.3002(2)nm,α=94.647(17)°,β=97.136(16)°,γ=111.909(18)°,V=1.8799(6)nm3.对其X-射线单晶结构分析结果表明,α-Keggin型PMo12O430-阴离子、质子化了的DPA和溶剂DMF分子形成了一个由氢键、静电引力、π-π作用、范德华力等多种作用力协同作用的复杂超分子体系.     

一类带凹凸项的二阶椭圆型方程组解的存在性

文章研究了下面一类带Dirichlet边值条件的二阶椭圆型方程组{-Δu=f(x)|u|q-2u+α/α+β|u|α-2uvβ,x∈Ω -Δv=g(x)|v|q-2v+α/α+β|u|α|v|β-2v,x∈Ω其中(3)NΩ∈R N≥为一有界区域。在函数f(x),g(x)变号的条件下,利用Nehari流形及变分方法,证明了上述方程正解的存在性。     

中枢神经系统中GABA_A受体的亚单位组合

分子生物学研究阐明中枢神经系统中抑制性神经递质γ-氨基丁酸 A 型(GABA_A)受体由不同的蛋白质亚单位组合构成。至今,15种亚单位,即6种α-(α_1-α_6)、3种β-(β_1-β_3)、3种γ-(γ_1-γ_3)、1种δ和2种ρ-(ρ_1-ρ_2)已被克隆和定序,而且还发现存在2种γ_2-(γ_(2S)和γ_(2L))、2种β_4-及γ_4-亚单位形式。每个亚单位由位于不同染色体上的不同的基因编码,它们在脑中具有不同的而又可交叉的区域分布。不同区域的由不同亚单位组合的 GABA_A 受体具有不同的药理学和生理学特征。     

复数学习中易与实数混淆的几个问题

实数集是复数集的真子集 ,因此 ,复数所具有的性质实数都具有 ,但实数所具有的性质复数不一定具备。由于教材尚无对此进行全面、系统的分析比较 ,学生在学习复数中出现了不少错误 ,为此 ,笔者根据学生出错的实际情形 ,总结了复数与实数之间极易混淆的七个问题 ,通过正误辨析 ,以警示学生甄别谬误 ,澄清认识。一、ｘ2 ≥ 0 ;ｘ21 +ｘ22 =0 ｘ1 =ｘ2 =0当ｘ∈Ｒ时成立 ,当ｘ∈Ｃ时 ,不一定成立例 1、在复数范围内解方程 :　　ｘ4 +1ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =4错解 :由原方程可得 :(ｘ2 -1ｘ2 ) 2 +(ｘ -1ｘ) 2 =0 ,则ｘ2 -1ｘ2 =0ｘ-1ｘ =0　　即 ｘ …     

Lagrange乘数法及其数学

求函数的极值,有很广泛的应用,其中有一类极值问题,函数的自变量受到若干条件的约束:即所谓的“条件极值”问题。例如,求点P(0,1,3)到球面G(x,y,z)=x~2+(y-4)~2+(z+1)~2-9=0的最短与最长距离,即是求三元函数F(x,y,z)=x~2+(y-1)~2+(z-3)~2在条件G(x,y,z)=0的约束下的最小值与最大值。由初等几何可知:在直线PA与球面G(x,y,z)=0的交点B、C处,即有极值(见图①)。且最小值|PB|=|PA|-3=5     

某些解析函数的近凸半径和凸半径

设f(z)=1/2[zF(z)]＇,F(z)是α,(-1/2≤α<1),级凸函数,本文目的是要找到园盘{z:|z|<γ_0}使f(z)于{z:|z|<γ_0内是近凸函数或子{z:|z|<γ_0}内是β,(-1/2≤β<1)级凸函数,结果是精确的,包含了[6,Th2]的结果。     

Eu2+对 Sr2SiO4:Eu2 荧光粉相变过程和发光性能的影响

采用高温固相法合成了Sr2SiO4:xEu2+荧光粉. 使用X射线衍射仪（XRD）和荧光分光光度计（PL）分析了Sr2SiO4：Eu2 荧光粉的晶体结构和发光性能. 结果表明：XRD谱中所有样品为β和α′-Sr2SiO4混合相,主相为β相,α′相为辅相.随着Eu2 浓度增大,β相向α′相转变.在310 nm激发下,所有样品的发射谱均在466 nm左右的宽蓝光区,在400 nm激发下发射光谱在位于532 nm左右的宽黄绿光区. 两个发射都来源于Eu2 部分取代Sr2SiO4晶格中两个不同的Sr格位,并且两个格位之间存在能量传递,导致两个发射带的存在.当Eu2 掺杂浓度为0.75﹪时,级联能量传递加剧,出现浓度猝灭现象.     

关于S~(n+1)中常标量曲率极小超曲面的Pinching常数的注记

设M是单位球面S~(n+1)中的一个闭极小浸入超曲面,h是M的第二基本形式,s是h的模长的平方。根据Simons已得到的结果,若在M上有0≤s≤n,则s=0或n。本文讨论如下问题: s是否有另一个较大的值?若有,这个值是什么?此问题收集到[7],我们得到 定理 设M是S~(n+1)中的闭定向极小浸入超曲面,若s为大于n的常数,则 s>n+(5-17~(1/2))/(3+17~(1/2))n>n+n/9     

关于三维复形的Euler-Poincare公式的一种直观推导及其推广

欧拉氏(Euler)于1736年发现拓扑图论的重要公式V-E+F=2,后又推广为V-E+F=2-2γ,并且X(P)=2-2γ称亏格(genus)为γ的多面体P的欧拉示性数。在拓扑图论这个领域里,人们已习惯于按欧拉氏指引的方向,把方程V-E+F=2的2,理解为亏格γ=0的多面体P的示性数了。习惯势力使人们长期不对欧拉公式里的常数2作直观的考虑。     

多金属氧酸盐H_2O[Mn(phen)_3]_2[SiW_(12)O_(40)]的合成与晶体结构

利用中温水热技术合成了Keggin型多金属氧酸盐H2O[Mn(phen)3]2[SiW12O40],并探讨了该化合物的晶体结构.该化合物属于单斜晶系,C2/c空间群,晶胞参数:a=1.9735(4)nm,b=1.8061(4)nm,c=2.5200(5)nm,α=90.00°,β=100.52(3)°,γ=90.00°,V=8.831(3)nm3,Z=4,R1=0.0562,wR2=0.1376.