瓦勒·布然逼近定理的引申

C_(2π)表示定义在整个实轴上且具有周期2π的连续函数全体。设f(x)∈C_(2π),称积分 为瓦勒·布然奇异积分。 在N.Л.纳唐松著《函数构造论》中证明了:瓦勒·布然定理:对于一切实数x,一致地有 定理1:若类C_(2π)中的函数f(x)在某个x处存在有限的导数f′(x),则对于这个值x,有     

凸函数颜森不等式的一个推广及其应用

定义设函数f(x)在区间M上连续,且对任意的,都有 2f(x_1+x_2/2)≤f(x_1)+f(x_2) (1) 则称f(x)为区间M上的凸函数,并记作;如果(1)中的不等号反向,则称f(x)为 区间M上的凹函数,并记作。     

常系数线性函数方程解的周期性

设f(x)是定义在区间D上的一个函数,且对任意的x∈D,满足如下的k阶常系数线性函数方程     

Jensen不等式及其应用

一、Jensen不等式 1.凸函数的定义 设函数f(x)定义在区间Ⅰ上,对x_1,x_2∈I,及λ∈(0,1)若f(λx_1+(1-λ)x_2)≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)或f(λx_1+(1-λ)x_2)≥λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)则称f(x)为定义在Ⅰ上的凸函数(下凸或上凸)     

再认识正反函数图象的关系

通常,对正反函数图象的关系是这样认识的:本来函数y=f(x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象是同一的,但将反函数x=f~(-1)(y)中的x与y交换位置之后,函数y=f(x)与其反函数y=f~(-1)(x)的图象就不同一了,并且这两个图象关于直线y=x对称。现在,笔者从一般的函数及其图象的定义出发,导出与上述相反的结论:函数y=f)x)与其反函数x=f~(-1)(y)的图象根本不同,这根x与y位置交换无关。同时讨论了这两个图象在坐标平面上的表示,并得到一个相应结论。为了把这些问题阐述清楚,有必要回顾一点基础知识:     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

二重极限存在的一个充要条件

本文给出一个关于二元函数的二重极限存在的充要条件和三个推沦,并举例说明它们的简单应用。我们约定采用中关于二重极限的定义,D为R_2中的点集,f(x,y)是定义在D上的二元函数. 定理若P_0(x_0,y_0)是D的一个聚点,则 lim f(x,y) x→x_0 y→y_0     

对称导数的几个性质

差分运算是众所周知的,由中心差分我们引导出对称导数,得到导数概念的一种拓广。 一、基本概念和几个已知的结果 设f(x)是定义在区间(a,b)上的实值函数,x∈(a,b),h充分小。那么f(x)在点x的n阶中心差分归纳地定义如下:     

关于P. Pottinger定理的一点注记

空间拼_:.、,系指在〔一1,1〕上具有无义其范数竹fl!。为:引言阶连续导数的实值函数全体.了〔e一:,::则定!}f 11=max(s 0‘召‘七x‘〔竺只::!f‘户’(x)l)· 对于节点组JX..:一1(礼.相似文献   

一类函数方程的解法

由于函数方程结构上的复杂性和表达形式的多样性,使函数方程的解法具有很强的技巧性,笔者发现,函数方程a_1(x)f(f_1(X)) A_2(X)F(F_2(X)) … a_n(x)f(f_n(x))=β(x)     

关于二重富里埃级数的线性求和法

设C_(2π,2π)为满足下述条件的两个变数函数f(x,y)的全体:1°)f(x,y)关于每一个变数都是具有周期2π的周期函数;2°)f(x,y)是x和y的二元连续函数.对任意的f(x,y)∈C_(2π,2π)借助于数组     

广义积分与瑕积分的一个判敛法

我们知道,对定义于[a,+∝)上的函数 f(x)的广义积分(?)dx 的敛散性的判别,一般都是利用一个已知敛散性的广义积分来进行比较的。而在这个过程中,找到适当的广义积分有时很麻烦,甚至是很难的。但能不能对给定的 f=(x),其广义积分     

积函数f(x)·g(x)可微性的判定

两个函数f（x）、g（x）所成之积函数F（x）=f（x）·g（x）是否可做，应看f（x）、g（x）是否分别可做来确定。显然，f（x）、g（x）两者均可微或均不可微，答案都是肯定的。但两者中有一个可微，另一个不可微，其积函数是否可微呢？在通常情况下，答案是不确定的。本文就这一问题作出探讨，并给出积函数f（x）·g（x）可微性的判定。定理1设两函数f（x），g（x）定义在点x0的某个邻域D上，且满足下列条件：i）f（x）在点x0可微；ii）g（x）在点x0不可微，且对于有（A为常数）则积函数f（x）·g（x）在x0点可微的充分必要条件是f（x0）=0…     

关于Rolle定理的评注

Rolle定理是微分中值的基本定理 ,在微积分学中起着重要作用。关于 Rolle定理有着多种形式的推广。本文得到了如下有意义的结论。设函数 y=f( x)在区间 I的内部可导 ,在区间 I上连续 ,若在区间 I上存在三个点 x1 ,x2 ,x3 ,x1 相似文献   

(R)积分顺序可交换的充要条件

本文在文[1]的基础上把含参量的(R)积分顺序可交换的条件再加以削弱,得到如下定理:设f(x,y)在R[a,b;c,d]上定义并有界,则成立的要条件是f(x,y)分别对x、y均(R)可积。     

极限I=Lim(x→∞或x→∞)(integral((x)~(g(x))))(x∈R,f(x)≥0)值的求解方法

我们在学习函数极限过程中，常常会遇到诸如f（X）~g(x)函数的极限，计算起来比较复杂，只要认真分析，就会发现这类函数中，有的虽然表达式不同，但它们具有相同的特性和相同的极限值。本文就是要找出其中具有相同特性函数的极限求解方法及极限值。为了便于分析，先引进一个定义及四条性质。定义：若1讪＿一1，「9（I）一间，则称人I）与9（d等价，记为人劝～9（工）．（I——①或。、。q‘x’（扛～＊性质2。若f（）～lx”，（x”。），（mEZ，IER，且l学0，m学0）·且f（）可导，timler存在，则产（x）～ml·x’－l，（x—m）．证：…     

周期函数及其最小正周期

<正> 在科学技术中时常遇到种种周期现象,例如现实世界中的波动现象——声、光、电等都是周期现象,周期现象的共同特点是,经过一定时间 T 后运动重复出现。这些周期现象在数学上表现为周期函数。周期函数深刻的反映出周期现象的数量关系,为研究周期现象提供了有力的工具。在中学里学过的三角函数是周期函数,它的特征是具有一定距离的任意两点函数值相同。例如f(x)=sinx对于(-∝,+∞)上任意两点,x_1x_2;只要|x_1-x_2|=2π则其函数值必然相同。于是,我们给出周期函数的精确定义。     

关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几点浅见

众所周知,勒贝格有界收敛定理可以这样叙述:设(1)f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…是E上的一串可测函数,(2)它们一致有界,即有正的常数M,使|f_n(x)|≤M(n=1,2,3,…;x∈E),(3)f_n(x)(?)f(x),则lim(?)f_n(x)dx=(?)f(x)dx。这个定理除了必须满足上述的三个条件外,还是在假定mE<+∞的情况下提出的。即是说,勒贝格有界收敛定理对测度为无穷的集合是不成立的。今举一例说明之。例:设E=[0、+∞),     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

复合函数y=f〔φ(x)〕单调性的一个初等解法

由于函数y=f(u)和u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)],其单调性的习题常见于各种教材及习题集中。特别是在高三总复习阶段,总结一下解题方法是有必要的。本文给出的定理,是把复合函数的单调性问题转化为基本初等函数的单调性问题。 我们约定:在复合函数y=f[ψ(x)]中u=ψ(x)称为里层函数,y=f(u)称为外层函数。