Bernoulli方程的推广

本文给出一类广义Bernoulli方程可积的充分性条件,它是Bernoulli方程的推广。     

施笃兹定理的应用及其推广

对数列的极限,在著作[1]P59～P60中给出了O·Stolz定理:     

精细备课,尽职讲授 积极开发学生的思维能力

为了加速培养适应有中国特色的社会主义建设和市场经济发展需要的“四有”中学教师,高等师范院校的教学必须在传授科学技术知识的同时,积极地开发学生的智能。开发学生的智能应贯穿整个教学过程的始终。数学分析、常微分方程、高等代数作为数学系的重要基础理论课,无疑应围绕发展学生的智能,提高课堂教学的效果,着重培养学生的思维能力,这是开发智力的核心。课堂教学是师生共同的活动,是教师传授知识、学生掌握知识、     

高阶常系数线性微分方程“连环解法”的改进

在《常微分方程》的各种教材中,介绍了常系数线性非齐次微分方程(其中p_1,p_2,…,p_(n-1),p_n均为实常数)的各种解法。如[1]中的“算子法”;[2]中的“常数变易法”;[1,3]中的Laplace变换法”;[2,3,4]中当f(x)为某几类特殊函数时,先用代数法求出对应齐次方程的通解,再用“待定系数法”求出非齐次方程的一个特解,然后迭加;资料[5]中利用特征方程的特征根,将原高阶线性方程转化为由n个一阶线性常系数微分方程组成的一个连环方程组(笔者称其为“连环解法”),此法有它独到之处,本文又将改进“连环解法”,以大大减少积分的计算量。     

integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx能表为有限形式的充要条件及其待定系数(积分)法

本文讨论积分integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx(其中p(x)为x的n次多项式,n≥1,m>2,m∈n.a≠0,b~2-4ac≠0),得出该积分能用初等函数表示(称为能表为有限形式)的充要条件,进而给出了求integral from [p(x)/(ax~2+bx+c)～ (1/m)]dx的待定系数法.     

二重积分计算中“分部积分法”的应用

众所周知,计算二重积分的基本方法是将二重积分化为累次积分,但有时碰到所化成的累次积分不易计算(被积函数的原函数在初等函数中不存在)如此时,通常处理的方法是交换积分顺序,如上述积分改为本文将“分部积分法”用于不易积分的累次积分,常常可不交换积分顺序而极方便地算出该累次积分。     

微分方程在构造微分中值命题的辅助函数中的应用

众所周知,Lagrange定理、Cauchy定理[1]及其它许许多多微分中值命题的证明均借助于构造一个适当的辅助函数。然而,如何作辅助函数,如同作几何证明中的辅助线,需要较高的技巧,无一定法则可循,这给教学带来了难处。文[2]给出了一种辅助函数的“统一”构造法,只需按照一套固定的程序即可。本文利用简单微分方程的解构造出中值问题的辅助函数,从而得到寻求辅助函数的一种新方法。     

线性无关向量组Schmidt正交化方法的改进

众所周知,一个线性无关的向量组,总可化为一个等价的正交化的向量组,其方法一般采用Schmidt正交化方法～[1]:设α_1,α_2…,α_n是一个线性无关向量组,令     

高阶变系数线性微分方程的特征值解法

本文主要讨论高阶变系数线性微分方程P_n(x)y~(n)+P_(n-1)(x)y~(n-1)+……+P_1(x)y~’+P_0(x)y=0的特征方程的特征值解法.     

分部积分法的推广公式

分部积分法是一种基本的重要积分方法。例如在计算函数f(x)的Fourier级数的系数时避开不了分部积分公式,尤其是当f(x)为多项式,且次数较高时,要多次使用,计算颇感繁琐,稍不小心,易出差错。如将分部积分公式加以推广,并将其格式化,必得简单明了,准确度高之收益。易见,