非齐次常系数线性微分方程解法的简化公式

<正> 本文在将常见的几种类型的方程归结为最简单的一类; Z~(n)+b_1Z~(n-1)+…+b_(n-1)Z~1+b_nZ=P_m(x)时,给出了一个无需记忆的非常整齐的公式,用于解方程时可直接套用。 定理:已给方程:y~(n)+a_1y~(n-1)+…+a_(n-1)y~1+a_(n)y=P_m(x)e~(λx)则在替换:y=Ze~(λx)下,方程化为:     

关于丢番图方程x2+by=cz

设s,t满足gcd(s,t)=1,s>t的正整数,a=2st,b=s~2-t~2,c=s~2+t~2。证明了:若c为素数幂且满足下列条件之一:(1)b有因子b_1≡±5(mod8),(2)b≡-1(mod8),(3)5|c。则不定方程x~2+b~y=c~z仅有一组正整数解(x,y,z)=a,2,2。     

二阶变系数线性微分方程可积浅探

本文对文[1]所提出的定理作一些改进,并由文[2]得到变系数微分议程的一种可积类型.定理1:若Riccati方程w′(x)+w~2(x)+q(x)-1/2(dp(x)/(dx))-(p~2(x))/4 =0,(1)有特解w_1(x),则二阶变系数线性微分方程:y″+p(X)y′+q(X)y=f(x)(2)可积,且其通解为:其中C_1,C_2为任意常数.证明:作未知函数变换,则     

广义齐次微分方程的降阶法

本文讨论广义齐次微分方程F(x,y,y’…,y~(n))=0的解法,利用双重变换x=e’,y=ue~(mf),再令z=du/dt,将方程降低一阶.     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。     

解一阶隐方程时容易混淆的一个问题

一阶微分方程的一般形状为F(x,y,y′)=1 (1)当(1)满足隐函数定理的条件即(?)0时,可以将 y′解出,得到一阶显方程y′=f(x,y)或M(x,y)dx N(x,y)dy=0则可求解,然而,由     

多元复合函数求导教学浅谈

多元复合函数求导是多元函数微分学的教学重点之一,又是教学的一个难点,本文就这部分内容的教学谈点粗浅体会。 利用图形、记忆法则 多元复合函数求导法则: 若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)有偏导数,函数z=f(x,y)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点(x,y)有对x及y的偏导数,且计算公式:     

一个不等式问题的简证及推广

在《数学通讯》1 988年第 7期的问题征解中 ,曾给出了这样的一个不等式命题 :设x,y,z　R ,且x +y+z=0求证 :6(x3 +y3 +z3 ) 2 ≤ (x2 +y2 +z2 ) 3 ( 1 )一般情况 ,有如下的情况 ,即定理 1　设x ,y ,z,e ,r且x +y+z=0则λ(x2R + 1+y2R + 1+z2R + 1) 2n ≤ (x2n +y2n +z2n) 2R + 1( 2 )基中nrεN ,λ =( 1 + 2 - 2n + 1 ) 2R + 1( 1 - 2 -2K) 2n 。这是四川邓寿才老师在文中对 ( 1 )式所作的指数上的推广 ,并用求导的方法证明了 ( 2 )式。本文将用一个初等且比较简明的方法来证明条理 1 ,并将原不等式问题做进一步的推广。一、不等式推广…     

曲线凹凸性与拐点判定法新探

判定曲线凹凸性与拐点，我们常用“雨水法则”：对于区间（a，b）内任-x值，若f″（x）＞0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凹的；若f″（x）＜0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凸的。如果f（x）在稳定点x0。处（满足f″（x）=0）改变其曲线的凹凸方向，则点（x0,f（x0））称之为曲线f（x）上的一个拐点。即是说，要判定点（x0，f（x0））是否为f（x）的一个拐点，只需确定点x0处左右近旁f″（x）的符号。是否能通过求在x0处的导函数之值来确定曲线凹凸性与拐点呢？就此问题，本文作出如下探讨。1结论定理：设函数=f（x）在（a，b）内具有n阶…     

关于联立Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设D是无平方因子正整数,证明了当D是偶数时,如果D没有适合p≡1(mod8)的素因数p,则方程组x2-2y2=1和y2-Dz2=4仅有整数解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

一个不等式的推广

文献〔1〕,中学数学问题栏中第1题:设x,y,z都是正数,求证:x/(y z)~(1/2) y/(z x)~(1/2) z/(x y)~(1/2)≥(3/2)~(1/2)(x y z)     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

联立Pell方程组x2-Dy2=-1和z2-(D+4)y2=-1

设D是正奇数.该文证明了:如果D≡1(mod8),则方程组x2-Dy2=-1和z2-(D 4)y2=-1没有整数解.     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

方程y″+py′+qy=e~(λx)(Acosωx+Bsinωx)特解的一般公式

本文推导了y″ py′ qy=eλx(Acosωx Bsinωx)特解的一般公式,从而简化了繁琐的计算。     

关于丢番图方程a^x＋b^y=2^z

对给定的正整数 a,b,我们证明了方程 a~x+b~y=2~x 除开3~x+5~y=Z~z 仅有正整数解(x、y,z)=(1,1,3) ,(3,1,6) ,(1. 3,7) 和3~x+13~y=2~z仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,4) ,(5,1,8) 外,最多只有一组正整数解.从而更正了 Vchiyama 获得的3~x+13~z=2~y 的结果。     

关于全纯函数的正规定则

本文讨论只有重级零点的情况下正规定则的问题.对有关结果作了推广和改进,得到了①f(z)为只有重级零点的整函数,若f~(k)—af~2≠0(a≠0)为有穷复数,k为正整数,则f(z)为常数.②设F(z)为区域D内一个全纯函数,K为正整数,a_i(z)(i=0,1,…,K—1),b(z),a(z)均在D内全纯,a(z)≠0.若对任意f∈F只有重级零点,f~(k)(z) sum from i=1 to (k-1)(a_i(z) b(z)f(z)-a(z)f~2(z)≠a_(0)(z)则F在D内全纯.     

用判别式法求函数值域时应注意的问题

几乎所有的有关求函数值域的书刊,都介绍了判别式法。然而其中明确指出运用这一方法求函数值域时应注意的问题的却为数不多。学生在求二次函数和形如y=(a_1x~2+b_1x+c_1)/(a_2x+b_2x+c_2)的有理分式函数的值域时,常喜欢用判别式法,但又往往出错。这是什么原因?又应注意些什么问题呢?     

波发夫方程的积分因子

本文讨论波发夫方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(l)的积分因子,其中P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)均具有一阶连续偏导数,指出它具有某些积分因子的充要条件.我们的主要结果是给出积分因子的一般表达式,从而给出了波发夫方程的分组解法。     

一类非线性方程的渐近解

用两变量方法讨论了一类二阶非线性方程εy″+a(x) y′+b(x) y″=0 ,n∈ Z,x∈ (0 ,1 ) ,y(0 ) =α,y(1 ) =β,并得到了该类非线性方程的渐近解