Jensen不等式及其应用

一、Jensen不等式 1.凸函数的定义 设函数f(x)定义在区间Ⅰ上,对x_1,x_2∈I,及λ∈(0,1)若f(λx_1+(1-λ)x_2)≤λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)或f(λx_1+(1-λ)x_2)≥λf(x_1)+(1-λ)f(x_2)则称f(x)为定义在Ⅰ上的凸函数(下凸或上凸)     

区间上具原函数的函数性质

在区间 I 上存在原函数的函数,或已知区间上可导函数的导函数,具有一些特殊的分析性质.本文即是对这类性质的部分探讨.定理1 设函数 f(x)在区间 l(开的或闭的或半开半闭的)上具有原函数 F(x),则函数 F(x)至多存在振荡间断点.证设 x_0∈I,且右极限 lim f(x)存在,取[x_0,x]I,则函数 F(x)在闭区间[x_0,x]上满足     

函数的保号性及其应用

设y=f(x)是区间[a,b]内的一个初等连续函数(图一)。 由图象易知:x_1,x_2,x_3…x_n分别是函数f(x)的n个零点,并把区间(a,b)分成了(n+1)个有序区间(从左到右);在(a,x_1)内,恒有f(x)>0,在(x_1,x_2)内,恒有f(x)<0,在(x_2,x_3)内,恒有f(x)>0,…,在(x_n,b)内,恒有f(x)<0,或者恒有f(x)>0。这一事实告诉我们:     

函数f:R~2→R~1的微分中值定理

本文把一元函数f:R~1→R~1的微分中值定理推广到二元函数f:R~2→R~1上,下面是二元函数z=f(x,y)的微分中值定理。 定理 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,在D内关于x和y的两个偏导数连续,且算子1×2矩阵的范,则对D内任意两点(x_1,y_1)、(x_2,y_2)有     

二重极限存在的一个充要条件

本文给出一个关于二元函数的二重极限存在的充要条件和三个推沦,并举例说明它们的简单应用。我们约定采用中关于二重极限的定义,D为R_2中的点集,f(x,y)是定义在D上的二元函数. 定理若P_0(x_0,y_0)是D的一个聚点,则 lim f(x,y) x→x_0 y→y_0     

关于Rolle定理的评注

Rolle定理是微分中值的基本定理 ,在微积分学中起着重要作用。关于 Rolle定理有着多种形式的推广。本文得到了如下有意义的结论。设函数 y=f( x)在区间 I的内部可导 ,在区间 I上连续 ,若在区间 I上存在三个点 x1 ,x2 ,x3 ,x1 相似文献   

任意三角形区域上的Durrmeyer算子

设f为区间[0.1]上的可积函数,而则我们称 M_n(f;x)为 Durrmeyer算子,它和熟知的Kantorovitch算子一样,是Berns-tein算子的一种变形.算子M_n(·;x)首先由Durrmeyer所引入.后来,M.M.Derriennic及Guo分别在连续函类类,可微函数类,有界变差函数类,可积函数类及一般的Sobolev空间中,讨论了它的一些逼近性质.另一方面大家知道,利用面积坐标可以将Bernstein多项式算子推广到平面上的任意三角形区域中去,本文则将Durrmeyer算子(1)推广到平面上的任意三角形区域中去.     

不定枳分答案的多重性与解题的灵活性

如果函数f(x)在某区间上连续,则在这区间上f(x)的原函数一定存在,且有无穷多个。     

关于分段函数导数的计算

在高等数学中计算分段函数导数时,求分段点的导数,一般都是用导数定义去计算。本文给出一种计算分段函数在分段点的导数的切实可行的方法。 先利用Lagrange中值定理给出下列定理。 定理一:设函数f(x)在区间[x_0,x_0+H](H>0)内是连续的,并且当x>x_0时,f′(x)存在     

瓦勒·布然逼近定理的引申

C_(2π)表示定义在整个实轴上且具有周期2π的连续函数全体。设f(x)∈C_(2π),称积分 为瓦勒·布然奇异积分。 在N.Л.纳唐松著《函数构造论》中证明了:瓦勒·布然定理:对于一切实数x,一致地有 定理1:若类C_(2π)中的函数f(x)在某个x处存在有限的导数f′(x),则对于这个值x,有     

非参数回归函数估计的一个结果

<正>设Y_1,Y_2,…Y_a是在固定点x_1,x_2,…x_R的几个观察值,适合模型Y_i=g(x_1)+E_i 1≤i≤n这里g( )是〔0,1〕区间上的未知函数,{a_i}是零均值的iid随机变量,且假定0≤x_1≤x_2≤…≤x_n≤1。我们要估计g()。Priestly and chao提出了一种加权核估计方法,即用(2)来估计g(x)。其中K(u)是密度函数,文[1]给出了g_(?)(x)     

欧几里得空间中有关不等式的证明

我们用En表示n维欧几里得空间,且 integral from n=En(f(x)dx)=integral from n=En(f(x_1,x_2,…,x_n)dx_idx_2…dx_n 性质1 对于E_2中任何连续可微的函数u(x_1,x_2),其支集包含在某球:|x-x_0|相似文献   

例谈一致连续与连续的关系

函数f(x)在区间I上一致连续,可得f(x)在区间I上连续,反之不一定。若I为有限闭区间[a,b],据Cantor定理,f(x)在[a,b]上连续等价于f(x)在[a,b]上一致连续。从几个具体例题的证明中,本文探讨了开区间以及无穷区间上一致连续与连续的关系,并由此解决两个相关的问题。     

反函数求导定理应用中的一类常见错误

本文指出了:“若y=f(x)存在反函数x=φ(y),且f~′(x_0)≠0,则φ′(y_0)存在φ′(y_0)=1/f′(x_0)”这一结论是不成立的,并给出了证明,同时为大家提供了一个方便、实用的反函数求导定理。     

一类异底对数大小的简捷判别法

利用对数函数y=log_ax(a>0且a≠1)的单调性,很容易判断两个(或多个)同底对数的大小,而要判断两个异底对数的大小,却往往颇费周折。简单的,如比较log_0.30.8与log的大小,通常的解法是:第一步,作差,第二步,利用公式log_ab=1/log_ba通分,第三步,利用函数y=log_0.8x的单调性,确定分子的符号,第四步,确定分母的符号,进而确定差的符号,得出结论。拙文提出两个命题,其结论易记,易掌握,并能简化上述判断过程。 命题一:当常数a∈E(1,+∞)时,函数y=log_xa(x>0,且x≠1)(1)当且仅当0相似文献   

关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几点浅见

众所周知,勒贝格有界收敛定理可以这样叙述:设(1)f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…是E上的一串可测函数,(2)它们一致有界,即有正的常数M,使|f_n(x)|≤M(n=1,2,3,…;x∈E),(3)f_n(x)(?)f(x),则lim(?)f_n(x)dx=(?)f(x)dx。这个定理除了必须满足上述的三个条件外,还是在假定mE<+∞的情况下提出的。即是说,勒贝格有界收敛定理对测度为无穷的集合是不成立的。今举一例说明之。例:设E=[0、+∞),     

n阶线性微分方程的初值问题

本文给出n阶线性微分方程的初值问题的求解公式。 若a_1(t),a_2(t),…,an(t),f(t)是区间[a,b]上的连续函数;x_1(t),x_2(t),…,xn(t)是区间[a,b]上齐线性方程     

微积分中值公式推广

本文先给出一道分析命题,然后将它与微积分中值公式联系起来。 命题1 设函数f(x)在区间[0,1]上可导,而且f(0)=0,f(1)=1,则对任何sum from i=1 to n(α_i),0≤α_i≤1,存在[0,1]中n个不同数x_1,…,x_n,便得sum from i=1 to n(a_i/integral to 1(x_i)) =1 证n=1时,α_1=1,结论显然成立,下面不妨0<α_1<1,当n=2时,因为0<α_1<1,所以存在ξ_1∈(0,1)使得f(ξ)=α_1,由微分中值定理得:     

坐标变换·复合运动·曲线加工——《解析几何》教学参考资料

可以解释为,同一点M在旧坐标系xoy中的坐标(x,y)和它在新坐标系x_1o_1y_1中的坐标(x_1,y_1)之间的联系。其中a,b是新坐标系原点o_1在旧坐标系中的坐标,而θ新坐标轴o_1x_1由ox方向开始的转动角。这时,由于新旧坐标系是相对固定的,所以a,b,θ皆为常数。 如果我们只考虑一个固定的点M,则公式(1)给出的是两组定数(x_1,y_1)和(x,y)之间的关系。如果把点M看做是某曲线上的任意点,则公式(1)(或其反变换)给出了一条曲线在两个坐标系中的方程之间变形公式。     

多元函数的极值与条件极值问题的解法分析

函数的极值问题有着重要的实用价值。一元函数的情形比较简单,因此这里我们只打算讨论多元函数的情形。下面分为两个部份来谈。 (一)普通极值 我们已知,函数f(x_1,x_2,…,x_n)在点P(x_1~0,x_2~0,…,x_n~0)处取得极值的必要条件是: f_(x_i)′(P)=0(i=1,2,…,n)(1)而充分条件则有下面的定理: