图(K_2∨"非汉字符号")·(K_2∨"非汉字符号")的优美性

对于正整数k,m,n∈N+(N+为正整数集合),设kn表示n个顶点的完全图。本文给出一类图(K2∨kn)·(K2∨km),同时,论证了当n=2k时,该图是优美图。     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

常系数齐线性差分方程公式解的推广及其证明

众所周知,一般教材上只介绍常系数齐线性差分方程的公式解。其实,结论对于变系数齐线性差分方程同样成立。下面将给出证明。 定义1 设a_0,a_1,a_2,…,是一个无穷序列,则称关于a_n,a_(n+1),…,a_(n+k-1),a_(n+k)的方程 λ_0a_(n+k)+λ_1a_(n+k-1)+…+λ_ka_n=0 (1)为k阶齐线性差分方程。 这里k是自然数,λ_j(j=0,1,2,…,k)是关于n的函数,λ_0λ_k≠0。 定义2 关于x的一元k次方程     

含完全子图K_m的几个结论

本文给出了图G含完全子图K_m的一个充分条件:G有n个顶点,f(n,m)=[((m-2)n~2)/(2(m-1))]+1条边。并通过构造完全m-1部图T及其边数S(n,m)的计算,证得当n=0,±1,±2(mod(m-1))时或3≤m≤8时,上述结论中的f(n,m)是最好的。     

关于Thabit相亲数

对于正整数s, 设p=3.2s-1-1,q=3.2s-1,r=9.22s-1-1,m=2spq,n=2sr.该文证明了:如果s ≡1或2(mod 4),则仅当s =2时(m, n)是相亲数.     

关于笛卡儿积1—因子分解的进一步结果

设G为无桥三次图,文[1]证明了G×K_3存在1-因子分解的充分条件。通过引入“圈图”概念,给出了G×K_3存在1-因子分解的判别法则。本文给出笛卡儿积1-因子分解的进一步结论和判则。 关于无桥三次图G和K_3的笛卡儿积G×K_3的1-因子分解,已有结论如次。 (Ⅰ)若G有一个同构于E×K_3的子图H(E表示单一的一条边),G_1是图G中H代之以H_1=P_(2k+1)×K_3得到的新图(P_(2k+1)表示长(2h+1)的路)。假定G的边被t种颜色如此着色:t≥5,H的侧面边的颜色取自{1,2,3,4}。则G_1的边能够这样着色:H_1的端面边和所有不在H_1中的边按G中着色,H_1侧面边和H_1内部三角形的边仅用颜色{1,2,3,4}着色。([1]引理2)。     

Hamilton圈计数

通过多重集排列计数，给出点标号完全三部图Kn,n,n的Hamilton圈数hn计数公式hn=（n!）^3/n∑k=0^[n/2]（2n-2k-1 n-1）（n-1 k）^2。     

关于过剩数的Kravitz猜想

设n是正整数,σ(n)是n的约数和函数,证明了:如果n满足σ(n)=2n k2,其中k是与n互素的正奇数,则n必为奇平方数,而且n必有适合p=1(mod 4)的奇素因数p.     

关于推广的Hsrdy-Hilbert不等式

利用改进的Euler-Maclaurin求和公式,建立了一个新的Hardy-Hilbert型不等式设p＞1,1/p+1/q=1,α≥1/2.an,bn≥0,满足0＜∞∑n=0anp＜∞及0＜∞∑n=0bnq＜∞,则有∞∑n=0∞∑m=0(ln(m+a/n+a)/m-n)2ambn＜{∞∑n=0k(q)anp}1/p{∞∑n=0k(p)bnq}1/q,其中k(r)=∞∑n=02(n+1)[1/(n-1/r+1)3+1/(n+1/r+1)3],r=p,q.特别,当1＜p ≤ 2且1/2≤α≤ 1时有∞∑n=0∞∑m=0(ln(m+a/n+a)/m-n)2ambn＜[k1/q(p)k1/p(q)]{∞∑n=0anp}1/p{∞∑n=0bnq}1/q,这里,常数因子k1/q(p)k1/p(q)是最佳值.     

图(K_2∨(k_n|￣))·(K_2∨(k_m|￣))的协调性

对于正整数m,n∈N+(N+为正整数集合),设Kn表示n个顶点的完全图。本文给出一类图(K2Vkn)·(K2 V km),同时,论证了当m=n-1(n≥2)时,该图是协调图。     

丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)

本文运用四次Diophantine方程的性质以及初等方法证明了:丢番图方程y~2=nx(x+1)(2x+1)至多有2~(w(n))-1个正整数解.当n=p~k时,方程的正整数解为(p,k,x,y)=(5,1,4,30),(29,1,4900,2612610).当n≡2p,p.5,7(mod8)时,方程的正整数解为(p,x,y)=(3,24,420).     

一类Halin-图的均匀色数

对Δ(G) =4的Halin -图证明了 |V(G) | 0 (mod3)时 ,对任意整数的k≥「Δ(G) / 2 +1,G是可均匀k -可着色的。从而证明了这类Halin -图的均匀染色数的下界是「Δ(G) / 2 +1。     

关于不定方程x3+1=7py2

设p=3k+2,k(≠)3(mod8),k(≠)7(mod8)为素数.利用递归数列,同余式,平方剩余以及Pell方程解的性质.证明了关于不定方程x3+1=7py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于Giuga猜想的一点探索

证明以下两个结论 :(1)当 2 |r时 ,居加数n若存在 ,则必有n≡ 1(mod6 ) ;(2 )若合数n =p1p2 …pr 满足条件r(pr -1r - (pr- 1) r-1+(p2 - 1)… (pr- 1) ) 相似文献   

Gauss-Bonnet公式的另一种表示形式

设M为n=2P维的紧致定向Riemann流形,本文将证明Gauss-Bonnet公式可表示成 x(M)=((-1)~p/2~pπ~p)∫_(mΩ_(1…n)) 其中,对任意偶数m≤n。 Ω_(i_1…i_m)=(sum from k)ε((1K2…K-1K+1…m)(1…m)Ω_(i_1i_k)∧Ω_(i_2…i_(k-1)i_(k+1)…i_m))     

关于奇素数幂中的孤立数

设p是奇素数,若p≡4i+1(mod 8),则有p8k+4i-2(k∈N;i=0,1)是孤立数.     

多元覆盖阶数和维数的相互关系

将覆盖同余式推广到多元覆盖的情形,给出了多元覆盖的定义,证出了当{〈μi1,…,μin〉(〈mi1,…,min〉)}k i=1为一个n元的覆盖系时.若k≥n,则有k≥n+ψ(min{m n+1,…,mk }),这里ψ表示欧拉函数,mi表示mi1,…,m in的最小公倍数.     

图与其补图特征值之和的界

设G是n阶简单图,其补图记为Gc,iλ(G)为G的第i大特征值。文中给出了图与其补图几个常见的特征值之和的界(i=1,2,…,n):-2(nn--1 i)(+i-1 1)≤λi(G)+λi(Gc)≤2(n-i)i(n-1)()及n-1≤λ1(G)+λ1(Gc)≤-1+1+2n(n-1)()()式中,下界可达当且仅当G为正则图。     

正则k-覆盖图

图G的k-正则生成子图称为G的一个k-因子,若图G的每条边都含于G的一个k-因子中,称图G足k-覆盖的。对任意给定的正整数γ、λ和k(λ≥2),基于文[1,2]的已知结论,本文给出了所有γ-正则λ-边连通图是k-覆盖图的充分必要条件。     

以质数p=4n+1为模的二次同余式的解法

以下设 p 是大于2的质数,a 是 p 的平方剩余,b 是 p 的平方非剩余。现在我们要解x~2≡a(mod p)(A)这个二次同余式,这就是说,要找出一个求解公式。若 p=4n+3,则已知x≡±a~(n+1)(mod p)是(A)式的解。若 p=8m+5,则(A)的解式也不难求出。但时于 p=8m+1,正象在他的书第四章第35节内所说的,一直还“没有现成的公式。”华罗庚先生在他的“数论导引”(科学出版社1957年出版)一书内也曾提到这个问题。当他