对函数f（x）=cx＋d／ax＋b的n次迭代周期性的探讨

就函数的特征根方程ax2＋（b－c）x－d＝0的判别式△＝0，△＞0，△＜0讨论f[n]（x）＝x的存在性．给出存在n使f[n]（x）＝x成立时，a，b，c，d满足的条件，并给出一些特例及定理的应用．     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

函数g（n）=2n＋2的整除性质的推广

将函数g（n）=2n＋2的整除性推广到更一般的函数f（n）=an＋a（n∈N＋,a为正偶数）的形式。     

涉及一类全纯函数复合的正规定则

研究了一类全纯函数族的正规性。证明了结论：设F是区域D内的一族全纯函数，p（z）=an^z^n＋an-1z^n-1＋…＋a0/bm^z^m＋bm-1z^m-1＋…b0是一个满足m＋1〈n，an≠0，bm≠0的有理函数。若对F中的任意函数f，复合函数p（f（z））≠h（z），h（z）为非常数全纯函数或者当h（z）为常数函数时p（z）－h（z）至少有两个判别的零点，则F在D内正规。这一结果对文献[1]中P（z）是次数≥2的多项式的结果进行了改进。     

一类数论函数的零点

对于正整数n,如果存在正整数k可使kn＋1是素数,k｜n-1且（n-1）/k不是合数,则设f（n）表示适此条件的最小的k;否则,f（n）=0.当f（n）=0时,n称为函数f（n）的一个零点.该文证明了：函数f（n）有无穷多个零点.     

一类Riccati方程的通积分

众所周知,Riccati方程）’一分’＋Q｝＋R一般是不可积的,这早已被刘维尔所证明．本文给出一类Ricc。ti方程：y＝P）‘＋Qy＋Re卜“（）在条件Pe冲“＝2（r〕下的通积分．IRdx定理吉R卜can方程问满足条件：Pe」帅一2（）口）则（l）可积,通积分为：其中不定积分中的积分常数为零,以下类同．证对mCCCti方程（1诽变换：U＝eW·）。两边关于x求导,得U＝（q·y＋）、）e一卜把其代人方程（l）,整理得先解U’＝Pe卜·U’,得t在（6）中,视C＝C（C）,并关于C求导,则（7）是一个关于c的foccati方程．由于c、c‘项的系数和末项满…     

关于广义Fibonacci函数的整数值

设a是正整数，数列满足遍推关系u0＝1，u1＝a，um＋2＝aum1＋um（m≥0），函数本。文证明了：对于任何正整数a，当且仅当X＝0或者X＝u2n-1／u2n（n∈N）时，U（x）是正整数上述结果完整地解决了Brugia、DiPorto和Filipponi提出的一个公开问题     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

关于复变函数极点的讨论

1复变函数奇点的分类若z0，为解析函数f（z）的孤立奇点，则f（z）在z0的某无心邻域内可以把f（z）展开成罗朗级数：罗朗组数由正幂项和负幂项两部分组成，称为f（z）在z0点的正则部分（解析部分），而称f(z)在z0点的主要部分。根据罗邮展开式（1）的主要部分的情况、可以把孤立奇点分为下列三件类型：（I）如果汁幼在。）点没有主要部分，则称。）为KZ）的可去奇点。fH、价单n7、存7I、6的车西部分为有】也另加价为————－＋……＋——1厂上n）山HZ一山I厂‘Z－7A）称q）为f肝加9nl阶极点。（＊）如果f（）在4，的主要部分有无限多…     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

棱喙毛莨的核型变异

本文就棱喙毛莨（RanunculustrigonusHand．－Mazz）的6居群77个个体进杆了核型分析，发现核型变异现象，并用下面4种不同的核型形式加以表示。（1）昆明型核型2n＝2x＝16＝4m＋2sm＋10st（2SAT）是四种核型中最普遍的一种技型；（2）苍山型核型公式为2n＝2x＝16＝6m＋2sm＋8st（以2SAT），其杂色体大小与其他几种核型相比，显得特别大，它是一种旱生性的细胞型；（3）贵州型核型公式为2n＝2x＝16＝4m＋6sm＋6st（2SAT），其随体染色体具有一个比短臂大得多的随体，而其他核型的随体是近等于它们的短臂，它是一种株形矮化的细胞型；（4）昆明-苍山型核型2n＝2x＝16＝4m＋3sm＋9st（2SAT）其特征介于昆明型及苍山型之间，故认为核核型是后两者之间的余种。     

关于多项式T_n(x)的整除性的一个问题

设n是适合n≥2的正整数,Tn（x）＝（1＋x）n＋（1－x）n－2n．本文证明了：如果p是素数,则对于任何适合2p＞r＞3的正整数r,都有Tr（x）T2p（x）．     

一个与分担值相关的亚纯函数正规定则

设D是C内的一个区域,n,k≥2是两个正整数,a是有限非零复数,P是一个多项式,且其次数或者degP≥3,或者degP=2且P只有一个不同零点,F是D内的亚纯函数族,对任意f∈F,f的零点重级至少是k.若F中任意函数f与g,P（f）（f（k））n和P（g）（g（k））n在D内分担a,那么F在D内正规.     

评述函数奇偶性的一个命题

某些教学参考书上有这样的一个命题及证明：“任何函数f（x）都能表示成一个偶函数与一个奇函数之和．证把函数f（x）变形为则有，即f1（x）为偶函数，f2（x）为奇函数．而f（x）=f1（x）十f2（x），得证．”表面一看，此“证”似乎没有毛病，命题为“真”．但仔细推敲，问题严重．由于命题中的函数，没有限定其定义域对称于原点，这就不能保证上述“变形”中的／（－。）有意义，从而不能保证人（X）、八（X）分别是偶函数、奇函数．也就是说，命题是假的．也可举出反例来说明：如函数人x）一／了，易知它的定义域为「0，＋①」．此时，若…     

关于二元函数极限存在性的一点注记

二元函数的极限远比一元函数的极限复杂，但它们之间又有密切的联系。本文的主要结论是：若二元由数W＝F（x，y）是在P0（x0，v0）附近有定义的函数（p0可能例外），则W＝F（x，y）在P0（x0，y0）处极限存在的充要条件是存在常数A，对任意满足y0＝f（x0）的在x0左侧（或右侧）附近连续且在x0左侧（或右侧）附近（x0可能例外）可导的函数y＝f（x），恒有     

脉冲中立型微分方程的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型方程这里τ，σ，p均为常数，τ＞0，σ＞0，Q（t）∈C（［0，∞），R＋），bk＞－1（k＝1，2，…），得出了方程（E）所有解振动的充分条件，改进了文[3]的结果。     

关于推广的Bernstein多项式的同时逼近

研究推广的Bernstein多项式Cn（f,Sn；x）对函数及其导数的同时逼近；对于f∈C（0,1）^n＋1,p≥1，给出了Cn^（p）（f,Sn；x）的渐进展开式．     

自然数“1”的妙用

自然数单位“1”是人类认识最早的一个数，它在数学解题中有着举足轻重的作用．如在进行复数运算、分母（分子）有理化，进行化简、计算、证明等都离不开“1”．1．分母（或分子）有理化常要把分式的分子、分母乘以同一个数1．2．某些化简或计算题一旦“乘以数1”后就会引起“连锁反应”，迅速得出结果3．某些二项式习题常令某数等于1，则迎刃而解．例6证明c＋CL＋CZ＋…＋CG＋…C卜2”证明设a＝b＝l代入二项式定理即得2”＝Ct＋C＼＋CI＋…C：例7计算以下多项式展开后的系数和（Zx’＋x‘－3x＋l）‘“·（Zx＋l）’·（－4x‘＋4x＋…     

一类含梯度的非线性椭圆方程的边界爆破

利用摄动方法和构造比较函数,研究了一类含有加权梯度项的非线性椭圆方程Δu±c（x）︱▽u︱q=b（x）f（u）,x∈Ω;u︱Ω=＋∞的爆破解的渐近行为,其中Ω是R N中的有界光滑区域,q≥0,f∈C2 0,∞是（0,∞）上的增函数,且f是指数为p的正规变化函数,b（x）,c（x）∈Cα（Ω）,α∈（0,1）,且是Ω内的非负函数.     

一类中立型泛函微分方程解的振动定理

给出了二阶中立型泛函微分方程,其中Pi（t）∈C（[t_0，∞），[0，∞）），τ_i＞0（i＝1，2…，m），f（t，u）∈C（[t_0，∞）×R，R）且f（t，0）＝0,g（t,v）∈C（[t_0，∞）×R，R）且的一切解均为振动的必要和充分条件。