也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

关于多项式T_n(x)的整除性的一个问题

设n是适合n≥2的正整数,Tn（x）＝（1＋x）n＋（1－x）n－2n．本文证明了：如果p是素数,则对于任何适合2p＞r＞3的正整数r,都有Tr（x）T2p（x）．     

Baker方法的若干应用(ⅩⅤ)

设a、b、n是正整数本文运用Baker方法证明了：当n≥2·108或者2＜n＜2·108且ab＞（4nn2／（n-1））2／（n-2）时方程。axn-by＝±1至多有1组正整数解（x，y）．上述结果基本上证实了Siegel的一个猜想．     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

关于丢番图方程ax^2＋D^m=2^Z（Ⅱ）

对于a、D为互素的正整数，a非平方数，若方程ax2＋Dm＝2Z（m＝2y＋1，（x，D）＝1）有最小解（x，m，Z）＝（b，2α＋1，d）本文证明了方程ax2＋D2y+1＝2Z除开某些特殊情形之外只有一组非负整数解．     

关于质数幂模高次同余式求解定理的注记

闽嗣鹤、严士健先生编的《初等数论》一书的第四章第3节定理2给出了：当行’（X；）的条件下，n次同余式j（x）三0（modP勺／（。）一o．O”＋o－1。“－’＋…＋11。＋。。（1）其中P为质数，a．一0，a‘（＝0，l，2，…，n）为整数时的求解之法。本文对Pf（x；）的情况进行研究，并给出了同余式（1）的有解条件，在有解的情况下求出了同余式（l）的解的表达式。定理l．设。。x／modp），即x一。；－＋pL；／；＝o，土1，士2，…O）是同余式f（x）。0（modP）（3）的一解，并且pfi’（。；），p叫了（。；），则同余式（1）的一解为。…     

关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

平方数的位数和函数的2个性质

设正整数n的二进制表达式为n=∑i≥0εi（n）2^i，这里最（n）=0或1，i≥0，定义二进制位数和函数为s（n）=∑i≥0εi（n）．设s（n）=κ，证明了s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，并且证明了几乎所有满足s（n）=κ的正整数n都满足s（n^2）≤κ（κ＋1）／2，i≥0从而给出了｜{n〈2^N：s（n）=κ，s（n^2）=m}｜的一个确切分布．     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

关于推广的Hardy—Hilbert不等式

利用改进的Euler—Maclaurin求和公式，建立了一个新的Hardy—Hilbert型不等式：设p〉1,1/p＋1/q=1,a≥1/2.an,bn≥0,满足0〈∞∑n=0an^p〈∞及0〈∞∑n=0bn^q〈∞,则有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈{∞∑n=0k（q）an^p）^q/p{∞∑n=0k（p）bn^q}^1/q, 其中k（r）=∞∑n=02（n＋1）[1/（n-1/r＋1）^3＋1/（n＋1/r＋1）^3],r=p,q. 特别，当1〈p≤2且1/2≤a≤1时有 ∞∑n=0∞∑m=0{ln（m＋a/n＋a）/m-n}^2ambn〈[k^1/q（p）k^1/p（q）]{∞∑n=0an^p}^1/p{∞∑n=0bn^q}^1/q, 这里，常数因子k^1/q（p）k^1/p（q）是最佳值．