关于Diophantine方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）

设a是大于1的正整数.该文运用Pell方程的基本性质证明了：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2.     

丢番图方程(x~2-y~2)~2-2y~4=-1的一个初等解法

本文用初等方法给出了Ljunggren方程的一种特殊情形（x2－y2）2－2y4＝－1的一个证法，证明了它只有整数解X＝0，y＝±1。     

关于Diophantus方程PX~2＋q~（2y＋1）＝2~Z（V）

本文给出了ｍａｘ｛ｐ，ｑ｝≤５３，（ｐ，ｑ）（±３，±５）（ｍｏｄ８），ｐ、ｑ为素数时，方程ｐｘ２十ｑ（２ｙ＋１）＝２Ｚ的全部非负整数解．运用本文给出的方法我们断言方程ｐｘ２＋ｑ（２ｙ＋１）＝２Ｚ恒可解．     

关于丢番图方程(x~p-y~p)/x-y=z~2

设N、P分别是全体正整数和奇素数的集合．本文运用初等数论方法部分地解决了有关万程（xp-yp）／（x-y）＝z2，x，y，z∈N，X＞y＋1，ged（x，y）＝1，p∈P，P＞3（＊）的Ljunggren问题，即证明了：方程（＊）仅有解（x，y，z，p）＝（3，1，11，5）可使x是奇素数的方幂     

关于丢番图方程x~n-2y~n=1和Erds猜想

本文运用Baker方法证明了：方程x~n-2y~n＝1，x，y∈Z＼｛0｝，（x，y）≠（-1，-1），n∈N，n＞2，至多有432组解（x，y，n），而且这些解都满足n≤3231以及|x|＜e~(10)~(208460)。     

卷·首·语

在数学研究领域，乐茂华的《关于Diophantine方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1》一文在a是大于1的正整数时，给出了方程（ax^4-1）／（ax-1）=y^n＋1的所有适合min（x，y，n）〉1的正整数解（x，y，n）。     

对函数f（x）=cx＋d／ax＋b的n次迭代周期性的探讨

就函数的特征根方程ax2＋（b－c）x－d＝0的判别式△＝0，△＞0，△＜0讨论f[n]（x）＝x的存在性．给出存在n使f[n]（x）＝x成立时，a，b，c，d满足的条件，并给出一些特例及定理的应用．     

利用点的变换解决常见图象变换问题

在中学数学中，有函数图象的平移变换与伸缩变换问题，方程的曲线的对称变换问题。这几类问题的解决，都可以用一种共同的思想方法──图象中的对应点的变换。1平移变换例1把直线l向在平移1个单位，再向上平移2个单位，所得直线l’与l重合。求直线l的斜率。分析：直线l：y＝kx＋b平移变换后所得直线产，可理解为直线l上的一点（x0，y0），平移变换后得到直线l’上的一个对应点（x，y），这里x，y的关系式即为直线l’的方程。把点（x0，y0）向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得点为（xo－1，y0＋2），因此x＝x0－1，y＝y0＋2，即x0＝x…     

关于联立Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设D是无平方因子正整数,证明了当D是偶数时,如果D没有适合p≡1(mod8)的素因数p,则方程组x2-2y2=1和y2-Dz2=4仅有整数解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

关于不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2的非平凡解

给出了不定方程组a2x2-a1y2＝a2-a1,a3y2-a2z2＝a3-a2有正整数解的一个充分必要条件以及当系数(a1,a2,a3)满足条件(a1,a2,a3)＝1且a1a2+1∈N2或a2-a1＝1时求该不定方程组的非平凡正整数解的一个方法.该方法可以在计算机上用"迭代"算法实现.     

也谈两个极值定理的推广及应用

高中代数第二册中有众人熟知且应用很广的两个极值定理：定理1设x，y∈R＋，x十y＝s，xy＝p，如果p为定值，那么当且仅当x＝y时，s有最小值.定理2设x，y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p，如果s为定值，那么当且仅当x＝y时，p有最大值。文[1]、[2]分别对此二定理进行了推广，受此启发，笔者通过研究，对此二定理再进行推广，得出一些很好的结果，即本文的定理.定理3设函数，其中u1（x），u2（x）是关于x的多项式，且u1（x）、u2（x）＞0.①若u1（x）＋u2（x）＝q＞0（定值），则当且仅当u1（x）＝u2（x）时，f（x）有最大值.即②若u1（x）u2（x）＝p…     

关于Diophantus方程px^2＋q^2y＋1=2^z（Ⅲ）

本文解决了（ｐ，ｑ）＝（２ｎ＋１，３·２ｎ－１），（２ｎ－１，３·２ｎ＋１），（３·２ｎ－１，２ｎ＋１），（３·２ｎ＋１，２ｎ－１），（３·２ｎ－１，５·２ｎ＋１），（５·２ｎ＋１，３·２ｎ－１），（３·２ｎ＋１，５．２ｎ－１），（５·２ｎ－１，３·２ｎ＋１）时，方程ｐｘ２＋ｑ２ｙ＋１＝２ｚ的求解问题。其中ｎ≥３，Ｐ、ｑ为素数．从而给出了Ｐ≡１（ｍｏｄ８），ｑ≡７（ｍｏｄ８）以及Ｐ≡７（ｍｏｄ８），ｑ≡１（ｍｏｄ８），且ｍａｘ｛Ｐ，ｑ｝＜１００时上述方程除（ｐ，ｑ）＝（７９，９７），（７９，７３），（４７，８９），（７９，８９），（７１，８９）之外的全部非负整数解。     

一阶线性微分方程的推广

众所周知，一阶线性微分方程的通解为本文将（1）加以推广，并得到其通解公式．定理一阶型微分方程若满足条件则（3）的通解为由一阶线性微分方程的熟知结果，则得所求通解：8＼y／d特别地，当取y（y）＝l，a＝l时／y）＝y，这时（3）即（l），故（3）是（l）的推广．此时，（5）JL．．IP（x）山／In八＿IP（x）dsJ．．＿＼刀y＝eJ””～”一iD叭xJ刽“””一则＊cJ即（2）．定理证毕．例1求方程y’＋Zx＝xe－’的通解．。，。，。，。t，。。。，＊。，。。。lA：n。。。、。。。。。，解g（g）＝e－’，入g）＝l，a二l适合条件人g）…     

一类中立型微分方程的振动性

本文考虑了一阶中立型微分方程[x（t）－px（t—τ）]’＋a（t）［x（t－σ（t））＋qx（t＋r（t））］＝0t≥t0（1）其中p≥0,q、τ＞0为常数,a（t）、σ（t）、r（t）是「t0,∞）上的非负连续函数。得到了方程（1）所有解振动的充分性判据,且本文结果包括或改进了文献[1][2]的相应结果。     

关于Diophantine方程(ax4-1)/(ax-1)=yn+1

设a是大于1的正整数.该文给出了方程(ax4-1)/(ax-1)=yn 1的所有适合min(x,y,n)＞1的正整数解(x,y,n).     

关于广义Fibonacci函数的整数值

设a是正整数，数列满足遍推关系u0＝1，u1＝a，um＋2＝aum1＋um（m≥0），函数本。文证明了：对于任何正整数a，当且仅当X＝0或者X＝u2n-1／u2n（n∈N）时，U（x）是正整数上述结果完整地解决了Brugia、DiPorto和Filipponi提出的一个公开问题     

联立Pell方程组x2-Dy2=-1和z2-(D+4)y2=-1

设D是正奇数.该文证明了:如果D≡1(mod8),则方程组x2-Dy2=-1和z2-(D 4)y2=-1没有整数解.     

Diophantine方程（a~n-1）（（a＋1）~n-1）=x~2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ（mod 2）,其中λ∈{0,1};又设f（a）=ord2（a-λ）表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了：如果方程（an-1）（（a＋1）n-1）=x2有正整数解（n,x）,则必有（i）f（a）=2r,其中r是大于1的正整数;（ii）a＋1的奇素因数p都适合p≡±1（mod 8）.     

椭圆曲线y^2=px（x^2±1）的正整数点

设P是素数．该文利用w．Ljunggren关于四次Diophantine方程的结果证明了：（i）椭圆曲线了y^2=px（x^2-1）仅当p=5和p=29时各有一组正整数点（x．y）=（9，60）和（x,y）=（9801,5225220）．（ii）当p≠1（mod 8）时．椭圆曲线y^2=px（x^2＋1）仅当p=2时有正整数点（x,y）=（1，2）；当p≡1（mod 8）时，该曲线至多有一组正整数点（x，y）．     

关于指数Diophantine方程（x^m-1）／（x-1）=y^5

该文证明了：方程（x^m-1）／（x-1）=y^2．x〉1。y〉1，m〉2，没有正整数解（x，y，m）可使m=4（mod5）且m是平方数．