一类数论函数的零点

对于正整数n,如果存在正整数k可使kn＋1是素数,k｜n-1且（n-1）/k不是合数,则设f（n）表示适此条件的最小的k;否则,f（n）=0.当f（n）=0时,n称为函数f（n）的一个零点.该文证明了：函数f（n）有无穷多个零点.     

基本不等式的应用

高中代数下册中已经推证了两个基本不等式的定理。定理一：若a,b∈R，则a~2+b~2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）。其推论为：若a，b∈R+，则a+b/2≥ab～(1/ab)(当且仅当a=b时取等号）。定理二：若a，b，c∈R+，则a_3+b_3＋c_3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）。其推论为：若a，b，c∈R+，则(a+b+c)/3≥abc～(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。推广后可得均值不等式：当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。它们在数学解（证）题中应用十分广泛，有很大的实用价值。但如何正确、科学的应用，使解（证）题更正确，简便，并通过分析思考达到培养学生…     

算术─几何平均不等式的导数证明

算术—几何平均不等式的证明方法很多，下面提供一种利用导数的证明，设a1，a2，…，an都是正数，则，当且仅当a1=a2=…an时等式成立．证明：用数学归纳法．当n=2时命题已然成立．假设当n=k时命题成立，即当且仅当a1=a2=…=ak时等式成立．引入函数f（x）=（x＋a1＋a2＋…＋ak）k+1－（k+1）k+1a1a2…akx，则当k为奇数，由f′（x）=0得唯一驻点故f（x）当x=x1时有极小值也是最小值f（x1），即f（x）≥f（x1）．当k为偶数，由厂（。）一0沿两个驻点。；＝（k＋l）Jii．－－－－－－－．－－－（。；＋a。＋…＋。。），x。—－（k＋l》不7二…     

有关Hamilton图与连通度的一个充分条件

利用插点方法和H-序列，证明了如果G是n阶简单图，k=k（G）≥k≥2．而（a1，a2，…，ak＋1）是H-序列，若对于任意的Y∈Ik＋1^（e）（G），有∑i=1^k＋1aisi（Y）＋sk＋1（Y）〉n＋k＋k-3，则G是Hamilton-图,该定理也是对这方面已有的某些定理的有效推广。     

关于有限2—拟质元群

文章推广了文献[3]、[14]的工作，研究元的阶至多含二个合数的有限群（称之为2-拟质元群），并给出了它们的完全分类，得到了一般结果，若G是2-拟质元群，则|π(G）|≤5，且当|π（G）|=5时，有：G为单群，用S（G）表示群G的可解根基，πe″（G）表示πe(G）中的合数集合，{πi,j=1,2，…,t}表示G的各连通图分支，π1表示含2的连通分支。     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Bn表示所有的n阶布尔矩阵的集合，R（A）表示A∈Bn的行空间，|R（A）|表示R（A）的基数，m、n为正整数．本文证明：（1）m∈[1，46]，存在A∈B7，使得|R（A）|＝m；（2）当n≥9为奇数时，则m∈[1，22＋22＋…＋23]，存在A∈Bn，使得|R（A）|＝m．     

关于平面二次系统极限环分布结构(Ⅰ)

利用系数组成的代数不等式,证明E200中仅具有四种极限环的分布结论：（奇,偶）、（奇,奇）、（偶,偶）、（偶、奇）,其下界至少为（i,j）分布（i,j=0．1）．证明具有三阶细焦点的二次系统E203中只有一种极限环的分布结构：（奇,偶）,其下界至少为（1,0）分布利用Hopf分支对函数小扰动只可能构造出极限环的（1,k）分布（k=1,2,3）,其它三种分布结构不可能构造出极限环的（1,k）分布（=2,3,4）与（0,k）分布（k=1,2,3,4）．     

关于奇素数幂中的孤立数

设P是奇素数，若P≡4i＋1（mod8），则有p^8k＋4i-2（k∈N;i=0，1）是孤立数。     

关于数论函数方程δ（x^2＋y）＋δ（x＋y^2）=2ψ（x^3＋y^3）

对于正整数k，设δ（k）和ψ（k）分别是k的约数和函数和Dedekind函数．该文证明了：方程仅有正整数解（x,y）=（1，1）．     

关于不定方程x^3-1=Dy^2

证明了如下结果：如果题设方程有非平凡整数解，D只有唯一的6k＋1形素因子p，则D要么没有其他素因子，要么任何其他素因子q都满足（3p／q）=1或（p／q）=1。     

级数sum from n = 1 to ∞ ()[1/n~(2k)](K∈N)求和的一个递推公式

级数[1/n~(2k)]（Ｋ∈Ｎ）求和的一个递推公式王慧兴（河南驻马店高中４６３０００）取定Ｋ∈Ｎ，则无穷级数收敛。为得到其和，通常要用某个函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来完成，并且对不同的自然数Ｋ，要寻求不同函数的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数，文献［１］用初等方法证明了等...     

关于ff~(k)的值分布

本文证明：设f(z)是超越整函数,k为正整数,若f（z）只有至少k级的零点,则ff(k)仅可能有Picard例外值是零     

二维变系数线性微分系统的求解定理

本文研究二维变系数线性微分系统且已知系统（1）的一解类型的求解法．引理设X1（t）为二阶变系数线性齐次微分方程（其中p（t）,q（t）∈C）的解,而且x1（t）≠0,则函数为方程（2）的另一线性无关的解。此引理不难证得,故从略．定理1若二维变系数线性微分系统（1）,已知系统（1）的一解,则系统（1）的通解为C1、C2为任意常数．证明我们容易将系统（1）化为方程（2）的形式．对（1）的第一个式子两端求导数,则有把（1）的第二个式子代入（5）式得由（1）的第一式解出将（7）代入（6）得（8）式即为（2）的形式依据引理,可得不难验…     

一道竞赛题与三个不等式

有这么一道题，证明：19881989＞19891。要证明这道题，若是直接去证，比较困难。因而我们先给出一个一般形式的命题：（并令此命题为命题Ⅰ）命题1：Kk－1＜（k－1）k对K≥4的自然数成立。我们先证明一个引理：在（【＋1）”一Cu‘一卜CH卜’＋…＋Cr‘且十c：这个二项展开式中，每一项的大小是依次递减的。即是每前面一项均大于后面的一项。事实上，我们可以通过讨论通项比值来证明它。而（m十五）k＞k—m是很显然的。．”．通项比值CTk’－”沁Z”’k‘－”－’大于1故上二项展开式中各项大小从前到后依次递减。现在我们来证明命题I…     

多元覆盖阶数和维数的相互关系

将覆盖同余式推广到多元覆盖的情形,给出了多元覆盖的定义,证出了当{〈μi1,…,μin〉(〈mi1,…,min〉)}k i=1为一个n元的覆盖系时.若k≥n,则有k≥n+ψ(min{m n+1,…,mk }),这里ψ表示欧拉函数,mi表示mi1,…,m in的最小公倍数.     

微分几何中一个定理的证明

文献〔1〕中有如下定理: 设C:r(s)={x(s),y(s)}是至少为C~2类的平面闭曲线,其中s∈〔0,L〕为弧长参数,令θ(s)表示x轴到C的单位切向量α(s)={x(s),y(s)}的按逆时针方向计算的有向角并且0≤θ(s)<2π,则可定义一个连续可微函数 θ=θ(s),s∈〔0,L〕,使得θ(S)和θ(s)只相差2π的整数倍,即     

关于数学概念的教学方法探讨

我们知道,函数y＝f（x）在点x处的导数f＇（x）表示曲线y＝f（x）在点p（x,y）处的切线的斜率。掌握了这一概念,对于求曲线在茶点处的切线的方程将带来很大的方便。但是,我们讲导数的几何意义时,应着重强调“在点x处”（即点（x,y）在曲线y=f（x）上）,这是它的前提,应让学生全面了解、掌握这一概念,否则学生对这一概念的认识只是表面的,而不能从本质上理解它。我在讲完这节后,有意安排了下面这道题,结果发现了以下错解：题：过点M（1,2）作抛物线y二Zx－x’的切线求切线方程：解：（错解）·y“ZxXZ’．y’＝22X．”．k、y…     

关于函数转移系统的生成系统

函数转移系统是定义在有限个符号上一些自映射的转移系统；对函数转移系统中的元（fi）i∈N，由xi＋1=fi（xi）决定一个符号序列（xi）i∈N，按此方式可生成符号空间的一个转移系统，叫做函数转移系统的生成系统．在2个符号且函数转移系统取为全转移系统的情形下，讨论了相应生成系统的分类问题，得出如下结论：不同函数转移系统可能具有相同的生成系统．     

—类鞅的随机中心极限定理

1.设{X_n,n≥1}是强平稳历的随机序列,EX_n~2=1,称它满足鞅差性,若对任一n≥2有(1)即部分和S_n=X_1+…+X_n,{S_n,F_n,n≥1}是鞅,其中F_n=F(X_1,…,X_n)是由X_1,…,X_n生成的σ域.在本文中,首先推广不等式,证明着定理1 设{X_n,n≥1}是平稳遍历鞅差序列,EX_n~2=1,对任给正整数k,记n_i=〔n_i/k〕,i=1,2…,k,则对任何可测集A∈F_r,P(A)>0,ε>0,存在整数N=N(i),     

微积分学中的一种构造性证明方法——常数变易法

构造性证明方法是微积分学中一种常用的证题方法，在学习微积分的过程中常常碰上通过构造辅助函数证明有关命题，但如何构造辅助函数，一般说来是比较困难的。本文将介绍一种较简便的构造辅助函数的方法──常数变易法。此法的基本思想就是，将欲证命题中的某个常量用变量代替而构成辅助函数，而对辅助函数进行讨论，使欲证命题得到证明。首先我们通过举例说明此法在证明微分学有关恒等式中应用。例1设函数f（）在闭区间「ahi上可微，证明在开区间（a，b）内至少存在一点4，使得、，。。、，VO）一时O），＿＿。，＿。，。。证明记——一k…